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236. 二叉树的最近公共祖先

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题目

Given a binary tree, find the lowest common ancestor (LCA) of two given nodes in the tree.

According to the definition of LCA on Wikipedia: "The lowest common ancestor is defined between two nodes p and q as the lowest node in T that has both p and q as descendants (where we allow a node to be a descendant of itself )."

Example 1:

Input: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1

Output: 3

Explanation: The LCA of nodes 5 and 1 is 3.

Example 2:

Input: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4

Output: 5

Explanation: The LCA of nodes 5 and 4 is 5, since a node can be a descendant of itself according to the LCA definition.

Example 3:

Input: root = [1,2], p = 1, q = 2

Output: 1

Constraints:

• The number of nodes in the tree is in the range [2, 10^5].
• -10^9 <= Node.val <= 10^9
• All Node.val are unique.
• p != q
• p and q will exist in the tree.

题目大意

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

维基百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

解题思路

这是一道经典的题目，寻找任意一个二叉树中两个结点的 LCA 最近公共祖先，考察递归。

从根节点开始，递归地向左子树和右子树搜索。递归的终止条件有几种情况：

1. 如果当前节点为 null，表示遍历到空节点，直接返回 null。
2. 如果当前节点等于 p 或 q，表示找到了其中一个节点，直接返回当前节点。

递归步骤如下：

1. 递归地在左子树中寻找 p 和 q 的最低共同祖先，结果存储在变量 left 中。
2. 递归地在右子树中寻找 p 和 q 的最低共同祖先，结果存储在变量 right 中。

然后，根据 left 和 right 的情况，可以得出以下结论：

• 如果 left 和 right 都不为 null，说明 p 和 q 分别位于当前节点的左右子树，因此当前节点就是它们的最低共同祖先，直接返回当前节点。
• 如果只有 left 不为 null，说明 p 和 q 都在左子树，最低共同祖先在左子树中，返回 left。
• 如果只有 right 不为 null，说明 p 和 q 都在右子树，最低共同祖先在右子树中，返回 right。

递归法的关键在于将大问题划分为规模较小的子问题，然后通过递归调用来解决子问题，最终得到整体的解决方案。在这里，递归调用的子问题是在左右子树中寻找 p 和 q 的最低共同祖先。

递归法的优点在于其简洁性和直观性，但需要注意避免重复计算，以提高性能。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是树中节点的总数，因为在最坏的情况下，需要检查每个节点来找到最近公共祖先。
• 空间复杂度：O(h)，其中 h 是树的高度，空间复杂度主要由递归调用栈的深度决定。
  • 在平衡树中，递归深度为 O(h)，其中 h 是树的高度。
  • 在最坏情况下（例如，树是完全不平衡的），递归的深度可以达到 O(n)，其中 n 是树中节点的总数。

代码

/**
 * @param {TreeNode} root
 * @param {TreeNode} p
 * @param {TreeNode} q
 * @return {TreeNode}
 */
var lowestCommonAncestor = function (root, p, q) {
	if (!root || root == p || root == q) return root;

	let left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
	let right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);

	if (left && right) return root;
	return left ? left : right;
};

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