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| 1 | +La plupart des ensembles sont des ensembles finis, ce qui signifie qu'ils ont un nombre fini d'élément *(un nombre fixe)*. |
| 2 | + |
| 3 | +>[!success] Vocabulaire |
| 4 | +>- **Compter** les éléments d'un ensemble, c'est **numéroter du premier au dernier** |
| 5 | +>- **Numéroter** de $1$ à $n$ les éléments d'un ensemble $E$, c'est associer à chacun un numéro unique *(ils sont tous numérotés et il n'y a pas deux éléments distincts qui portent le même numéro.)* |
| 6 | +
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| 7 | +>[!important] Notations |
| 8 | +>- On note $|E|$ ou $\#E$ ou encore $Card(E)$ le nombre d'éléments de $E$. |
| 9 | +>- Habituellement, on appelle $e_i$ l'élément de $E$ numéroté $i$. |
| 10 | +
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| 11 | +>[!example] Exemples |
| 12 | +> |
| 13 | +>| Ensemble | Cardinal | |
| 14 | +| -------------------------------- | ------------- | |
| 15 | +| $E = \{1, 7, 4, 2, 8\}$ | $Card(E) = 5$ | |
| 16 | +| $E = \{1, 2, 3, \dots, n-1, n\}$ | $Card(E) = n \textcolor{gray}{ = n-1 +1 }$ | |
| 17 | +| $E = \{5, 6, 7, \dots, n-1, n\}$ | $Card(E) = \textcolor{gray}{n-5 +1 =} n - 4$ | |
| 18 | + |
| 19 | +Si au total, un ensemble $A$ contient $n$ éléments distincts, avec $n \in \mathbb{N}$, on dit que cet ensemble est **fini**. |
| 20 | +On dit aussi que $n$ est le **cardinal** ou la **puissance** de $A$ : $n = |A| = \#A$. |
| 21 | + |
| 22 | +>[!warning] Appellations spécifiques |
| 23 | +>L'ensemble vide : $\emptyset$ est le seul ensemble de cardinal $0$. |
| 24 | +>Un ensemble de cardinal 1 est appelé un **singleton** |
| 25 | +>Un ensemble de cardinal 2 est appelé une **paire** |
| 26 | +
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| 27 | +Principe d'addition : $|A| \cup |B| = (|A| + |B|) - |A \cap B|$ |
| 28 | + |
| 29 | +Deux ensembles $A$ et $B$ sont équipotents ou ont la même puissance s'il existe une bijection entre ces deux ensembles. |
| 30 | + |
| 31 | +On en déduit que deux ensembles $A$ et $B$ sont équipotents si et seulement si $|A| = |B|$. |
| 32 | + |
| 33 | +>[!example] Exemples |
| 34 | +> - *L'ensemble* $P$ *des entiers naturels pairs et* $\mathbb{N}$ *sont équipotents.* |
| 35 | + *En effet, l'application* $f : \mathbb{N} \rightarrow P$ *qui associe à chaque nombre entier son double est une bijection.* |
| 36 | + > |
| 37 | +> - *Si* $\textcolor{gold}n \neq \textcolor{orange}m$ *les ensembles* $\mathbb{N}_\textcolor{gold}n^*$ *et* $\mathbb{N}_\textcolor{orange}m^*$ *ne sont pas équipotents.* |
| 38 | +
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| 39 | +>[!danger] Propriété |
| 40 | +>Si le cardinal d'ensemble $A$ est égal à $n$ alors le cardinal de $\wp(A) = 2^n$ |
| 41 | +
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| 42 | +>[!check] Théorème |
| 43 | +>S'il existe une **bijection** entrre les ensembles $A$ et $B$ alors $|A| = |B|$ |
| 44 | +>1. S'il existe une **injection** de l'ensemble $A$ dans l'ensemble $B$ alors $|A| \leq |B|$. |
| 45 | +>2. S'il existe une **surjection** de l'ensemble $A$ dans l'ensemble $B$ alors $|A| \geq |B|$. |
| 46 | +> |
| 47 | +> *Pour chacune de ces propriétés, leur réciproque est vraie.* |
| 48 | +
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| 49 | +La deuxième affirmation est le principe des tiroirs ou principe de Dirichlet. Quand on range des objets dans des tiroirs et que le nombre d'objets dépasse le nombre de tiroirs, il y'a au moins un tiroir qui contient plusieurs objets. |
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