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La loi de distribution du $\chi^2$ représente de manière théorique la probabilité de distribution de fréquences entre les niveaux d'une ou plusieurs variables qualitatives. Un test d'hypothèse $\chi^2$ en est dérivé pour comparer un échantillon à des valeurs théoriques sous H~0~. Vos objectifs sont ici :
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La loi de distribution du $\chi^2$ représente de manière théorique la probabilité de distribution de fréquences entre les niveaux d'une ou plusieurs variables qualitatives. Un test d'hypothèse $\chi^2$ en est dérivé pour comparer un échantillon à des valeurs théoriques sous H~0~. Vos objectifs sont ici de :
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- Pouvoir calculer des quantiles ou des probabilités relatifs à la distribution du $\chi^2$
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- Appréhender le test d'hypothèse du $\chi^2$ univarié
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`r`Vous devez avoir assimilé la matière du [module 8](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2021/chi2.html) du cours, en particulier la [section 8.2](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2021/test-dhypoth%25C3%25A8se.html), et vous devez avoir compris les différentes notions vue au [module 7](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2021/proba.html) relatives aux calculs de probabilités et aux lois de distribution statistiques. Ce learnr vous sert à auto-évaluer vos acquis relatifs à la distribution $\chi^2$ et au test $\chi^2$ univarié.
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Vous devez avoir assimilé la matière du [module 8](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2022/chi2.html) du cours, en particulier la [section 8.2](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2022/test-dhypoth%25C3%25A8se.html), et vous devez avoir compris les différentes notions vue au [module 7](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2022/proba.html) relatives au calcul de probabilités et aux lois de distribution statistiques. Ce learnr vous sert à auto-évaluer vos acquis relatifs à la distribution $\chi^2$ et au test $\chi^2$ univarié.
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## Distribution du $\chi^2$
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Représentez graphiquement la densité de probabilité de la distribution du $\chi^2$ à trois degrés de liberté. Utilisez la fonction approrié dist\_\*()
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Représentez graphiquement la densité de probabilité de la distribution du $\chi^2$ à trois degrés de liberté. Utilisez la fonction approriée `dist_*()`.
grade_code("Avec les fonctions dist_*, il est simple de créer un objet associé à la distribution souhaitée. Pour la distribution du Chi^2, il vous suffit d'indiquer les degrés de libertés de la distribution souhaitée. Il s'agit d'une loi de distribution très asymétrique et qui commence à {0, 0}. Notez que plus le quantile est grand, plus la densité de probabilité est faible.")
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grade_code("Avec les fonctions `dist_*()`, il est simple de créer un objet représentant la distribution souhaitée. Pour la distribution du Chi^2, il vous suffit d'indiquer les degrés de liberté de la distribution. Il s'agit d'une loi de distribution très asymétrique et qui commence à {0, 0}. Notez que plus le quantile est grand, plus la densité de probabilité est faible.")
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```
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Sur base de cette distribution à trois degrés de liberté, calculez la probabilité d'une valeur de $\chi^2$ supérieure au quantile 15.
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💬 **Ce code correspond au snippet `.icproba`.**
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<!--💬 **Ce code correspond au snippet `.icproba`.**-->
incorrect = "Recommencez afin de trouver la bonne réponse",
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correct = "C'est correct ! Les fréquences théoriques sont l'hypothèse qu'il n'y a pas de différences sont les probabilités multipliées par l'effectif total.")
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correct = "C'est correct ! Ce sont les fréquences théoriques sont l'hypothèse qu'il n'y a pas de différences sont les probabilités multipliées par l'effectif total.")
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```
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Calculez à la main la valeur du $\chi^2$ observé à l'aide de la formule (aidez-vous d'une calculette) :
grade_code("Cette probabilité est appelée valeur p.")
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grade_code("Cette probabilité est appelée valeur p du test d'hypothèse.")
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201
```
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Pour tirer une conclusion avec le **test d'hypothèse** du $\chi^2$ univarié, vous comparez la valeur *p* ainsi obtenue au seuil $\alpha$ que vous avez fixé préalablement (choix réalisé *avant* de faire le test pour ne pas être influencé par le résultat). Souvent, on prend $\alpha$ = 5% en biologie. Les hypothèse (H~0~ = hypothèse nulle et H~1~ ou H~A~ = hypothèse alternative) du test $\chi^2$ univarié sont :
@@ -214,14 +218,14 @@ question("Que décidez-vous au seuil alpha de 5% ?",
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answer(sprintf("Non rejet de $H_{0}$")),
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allow_retry = TRUE, random_answer_order = TRUE,
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incorrect = "Recommencez afin de trouver la bonne réponse",
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correct = "C'est correct ! Nous rejetons H0. Le chimpanzé préfère donc certains fruits (banane) à d'autres (orange). Les préférences sont déduites de la comparaison des fréquences observées par rapport aux fréquences théoriques sous H0")
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correct = "C'est correct ! Nous rejetons H0. Le chimpanzé préfère donc certains fruits (banane) à d'autres (orange). Les préférences sont déduites de la comparaison des fréquences observées par rapport aux fréquences théoriques sous H~0~")
218
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```
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### Test $\chi^2$ avec `chisq.test()`
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Pour réaliser votre test $\chi^2$, vous ne devez heureusement pas passer par tous ces calculs à la main. En effet, R mets à votre disposition une fonction qui le fait toute seule : `chisq.test()`. Utilisez maintenant cette fonction pour faire le même calcul sur l'expérience de préférence alimentaire des chimpanzés.
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Pour réaliser votre test $\chi^2$, vous ne devez heureusement pas passer par tous ces calculs à la main. En effet, R mets à votre disposition une fonction qui le fait pour vous : `chisq.test()`. Utilisez maintenant cette fonction pour faire le même calcul sur l'expérience de préférence alimentaire des chimpanzés.
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💬 **Ce code correspond (pour la dernière ligne) au snippet `.hcchi2uni`**[`.hc` = `h`ypothesis tests: `c`ontingency].
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<!--💬 **Ce code correspond (pour la dernière ligne) au snippet `.hcchi2uni`** [`.hc` = `h`ypothesis tests: `c`ontingency].-->
grade_code("Le valeur du Chi^2^ obs est beaucoup plus grande ici et la valeur p est plus petite.")
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+
grade_code("Le valeur du chi^2^ obs est beaucoup plus grande ici et la valeur p est plus petite.")
301
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```
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Plus l'échantillon a une taille *n* importante, plus nous avons des données à disposition et nous pourrons donc rejeter H~0~ si elle est fausse *même si l'écart entre les* $a_i$ et les $\alpha_i$ est très petit. Par contre, si cet écart est très grand, un petit nombre d'observations suffira pour rejeter H~0~. A cause de cet effet de *n*, nous ne dirons *jamais* que nous **acceptons** H~1~, mais nous dirons que nous **ne rejetons pas H~0~**. Car, dans cette situation, deux cas sont possibles :
@@ -309,7 +315,7 @@ A l'inverse, lorsque l'on travaille avec une taille d'échantillon *n* extrêmem
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## Conclusion
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La distribution du $\chi^2$ et son test d'hypothèse univarié n'ayant plus de secrets pour vous, nous aborderons une autre variante : le test $\chi^2$ d'indépendance dans le prochain learnr.
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Ayant maintenant compris la logique et l'utilisation de la distribution du $\chi^2$ et son test d'hypothèse univarié, nous aborderons dans le prochain learnr une autre variante : le test $\chi^2$ d'indépendance.
La loi de distribution du $\chi^2$ peut être utilisée pour étudier si des dépendances existent ou non entre les niveaux de deux variables qualitatives. C'est le test $\chi^2$ d'indépendance. Vos objectifs sont :
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La loi de distribution du $\chi^2$ peut être utilisée pour étudier si des dépendances existent ou non entre les niveaux de deux variables qualitatives. C'est le test $\chi^2$ d'indépendance. Vos objectifs sont de :
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- Comprendre le test d'hypothèse de $\chi^2$ d'indépendance pour deux variables qualitatives croisées
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- Interpréter correctement un tel test
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Vous devez avoir assimilé la matière du [module 8](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2021/chi2.html) du cours, en particulier la [section 8.2](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2021/test-dhypoth%25C3%25A8se.html). Vous devez avoir réalisé le tutoriel `BioDataScience1::run("A08La_chi2")` préalablement. Ce learnr vous sert à auto-évaluer vos acquis relatifs au test $\chi^2$ d'indépendance.
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Vous devez avoir assimilé la matière du [module 8](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2022/chi2.html) du cours, en particulier la [section 8.2](https://wp.sciviews.org/sdd-umons/?iframe=wp.sciviews.org/sdd-umons-2022/test-dhypoth%25C3%25A8se.html). Vous devez avoir réalisé le tutoriel `BioDataScience1::run("A08La_chi2")` préalablement. Ce learnr vous sert à auto-évaluer vos acquis relatifs au test $\chi^2$ d'indépendance.
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## Fumeurs
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@@ -113,7 +113,7 @@ question("Valeur du $\\chi^2$",
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Continuez le calcul de votre test d'hypothèse d'indépendance à la main en déterminant l'aire à droite délimitée par la valeur du quantile $\chi^2_{obs}$ calculé ci-dessus dans la distribution du $\chi^2$ correspondant à cette étude.
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💬 **Ce code correspond au snippet `.icproba`**[`.ic` = (d)`i`stribution: `c`hi2].
Maintenant, calculez le même test d'hypothèse, mais avec la fonction dédiée `chisq.test()` dans R sur notre tableau de contingence à double entrée, considérant qu'il est déjà encodé dans R sous le nom `tabac_table`.
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Maintenant, calculez le même test d'hypothèse, mais avec la fonction dédiée `chisq.test()` dans R sur le tableau de contingence à double entrée, considérant qu'il est déjà encodé dans R sous le nom `tabac_table`.
Une étude de la distribution des différents groupes sanguins est réalisée dans trois états américains : Iowa en vert, Missouri en bleu et Floride en rouge sur la carte ci-dessous.
@@ -219,7 +222,9 @@ chart(usa, aes(long, lat, group = group)) +
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coord_quickmap()
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```
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-
Voici les résultats de cette étude sur un échantillon aléatoire de la population (notez l'utilisation de `xtabs()` ici en avant dernière ligne pour créer le tableau de contingence à double entrée à partir des fréquences et qui correspond au snippet `.ectable2f`) :
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+
Voici les résultats de cette étude sur un échantillon aléatoire de la population (notez l'utilisation de `xtabs()` ici en avant dernière ligne pour créer le tableau de contingence à double entrée à partir des fréquences.
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+
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+
<!-- et qui correspond au snippet `.ectable2f`) : -->
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```{r, echo=TRUE}
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blood <- dtx(
@@ -251,7 +256,7 @@ question("Nombre de degré de liberté de la distribution du $\\chi^2$.",
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Calculez le test $\chi^2$ d'indépendance dans R pour ce jeu de données directement avec la fonction `chisq.test()` considérant que le tableau de contingence est déjà créé dans R sous le nom `blood_table`.
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💬 **Ce code correspond au snippet `.hcchi2bi`.**
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+
<!--💬 **Ce code correspond au snippet `.hcchi2bi`.**-->
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```{r blood-prepare}
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blood <- dtx(
@@ -276,6 +281,7 @@ chi2.[["expected"]]
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```
277
282
278
283
```{r chi_blood_h2-solution}
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+
## Solution ##
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(chi2. <- chisq.test(blood_table))
280
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cat("Expected frequencies:\n")
281
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chi2.[["expected"]]
@@ -304,7 +310,7 @@ quiz(
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## Conclusion
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A l'issue de cette série d'exercices, vous devriez être à l'aise avec l'utilisation de la distribution du $\chi^2$ et de ses tests d'hypothèse. Vous pouvez maintenant passer à des applications concrètes (assignation GitHub).
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A l'issue de cette série d'exercices, vous devriez être à l'aise avec l'utilisation de la distribution du $\chi^2$ et de ses tests d'hypothèse. Vous pouvez maintenant passer à des applications concrètes (projets GitHub).
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