_08-Anhang.tex

\chapter{Entstehungsprozess eines Beweises} \label{anhang:entstehungsprozess}


Das Schreiben eines mathematischen Beweises lässt sich grob in drei Phasen gliedern, die in diesem Abschnitt einmal durchgegangen werden. Parallel zu deren abstrakter Beschreibung wird ein ganz konkretes Beispiel aus der Linearen Algebra entwickelt:


\begin{aufg}
    Gegeben seien die folgenden Vektoren im $\R^3$:
        \[ v_1:= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\qquad  v_2:= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\qquad v_3:= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]
    Man beweise, dass $(v_1,v_2,v_3)$ eine Basis des $\R^3$ ist.
\end{aufg}


\begin{phaseone}[Recherche]
    In diesem Schritt stellt ihr sicher, euch auf dem Stand der Dinge zu befinden:
    \begin{itemize}
        \item Sofern ihr nicht die Bedeutung aller in der Aufgabenstellung vorkommenden Begriffe kennt, müsst ihr sie im Vorlesungsskript, in eurem Aufschrieb, in einem Lehrbuch oder im Internet nachschlagen. Solange ihr nicht genau wisst, was die Aufgabe besagt, könnt ihr sie nicht lösen.
        \item Mit den Definitionen allein kommt ihr meist aber noch nicht weit. Denn in der Regel wurden in der Vorlesung bereits ein paar praktische Aussagen bewiesen, die euch die Arbeit zu erleichtern. Erstsemestern passiert es nicht selten, dass sie keinen genauen Überblick darüber, was genau in der Vorlesung bewiesen wurde und was nicht, haben, und deshalb unnötige Mehrarbeit verrichten, indem sie unbeabsichtigt versuchen, bereits in der Vorlesung bewiesene Sätze noch einmal von Neuem zu beweisen.
        \item Ein Problem, das vor allem das erste Studiensemester betrifft, ist, dass gewisse „offensichtliche“ oder bereits aus der Schule bekannte Aussagen für die Lösung der Übungszettel nicht verwendet werden sollen, weil sie noch nicht in der Vorlesung hergeleitet wurden. Leider ist im ersten Semester manchmal nicht ganz klar, was denn nun alles für bekannt vorausgesetzt werden darf und wobei es sich um „nichttriviale“ Aussagen, die eines Beweises bedürfen, handelt. Im Zweifelsfall solltet ihr bei eurem Tutor / eurer Tutorin nachfragen. Glücklicherweise löst sich diese Problematik spätestens im dritten Semester auf.
    \end{itemize}
    Zu dem Beispiel mit den Basisvektoren: Solange ich nicht genau weiß, was eine „Basis des $\R^3$“ ist, kann ich die Aufgabe nicht lösen. Ein Blick in den Vorlesungsaufschrieb verrät mir:
    \begin{quote}
        Das Tripel $(v_1,v_2,v_3)$ ist genau dann eine Basis des $\R^3$, wenn es für jeden Vektor $v\in \R^3$ eindeutig bestimmte reelle Zahlen $a,b,c\in \R$ gibt, für die $v=av_1+bv_2+cv_3$.
    \end{quote}
    An dieser Definition könnte ich nun meinen Beweis ausrichten. Damit würde ich aber unnötige Beweisarbeit verrichten, die bereits in der Vorlesung erledigt wurde. Denn dort wurde die folgende Aussage bewiesen:
    \begin{quote}
        Da der $\R^3$ dreidimensional ist, ist das Tripel $(v_1,v_2,v_3)$ schon dann eine Basis, wenn es linear unabhängig ist.
    \end{quote}
    Dies führt mich auf den Begriff „linear unabhängig“, dessen Bedeutung ich, sofern sie mir nicht klar ist, ebenfalls nachschlagen muss:
    \begin{quote}
        Die Vektoren $(v_1,v_2,v_3)$ heißen \emph{linear unabhängig}, falls für alle $a,b,c\in \R$ mit $av_1+bv_2+cv_3=0$ bereits gelten muss, dass $a,b,c=0$.
    \end{quote}
    Damit habe ich jetzt alle Definitionen beisammen und hoffe, dass ich keinen weiteren Satz aus der Vorlesung, der mir noch mehr Arbeit abnehmen könnte, übersehen habe\footnote{Später in der LA1-Vorlesung wird meist ein „Determinantenkriterium“ bewiesen, das die Aufgabe nochmal erheblich vereinfachen würde.}. Beachte auch, wie mir das Nachschlagen des Vorlesungssatzes Arbeit abgenommen hat. Anfangs hätte ich beweisen müssen, dass es für jeden beliebigen Vektor $v\in \R^3$ eindeutig bestimmte Zahlen $a,b,c\in \R$ mit $v=av_1+bv_2+cv_3$ gibt. Nun muss ich dies nur noch für den Fall $v=0$ beweisen. Das ist eine erhebliche, unmittelbare Vereinfachung der Aufgabe!
\end{phaseone}


\begin{bem}
    Die Recherchephase ist auch für die Spitzenforschung nicht zu unterschätzen. Probleme im Wissensaustausch sind vielleicht das größte Hindernis mathematischen Fortschritts. So schreibt Peter Johnstone in der Einführung seines Buchs \emph{Stone Spaces} (1982), einem Standardwerk der punktfreien Topologie:
    \begin{quote}
        The enormous increase in the number of practising mathematicians since the 1930s has inevitably produced a corresponding decrease in the range of mathematical knowledge that each one possesses on average, and the effect of this is easy to see: theorems and techniques which are commonplace in one field are laboriously and imperfectly rediscovered in adjacent ones.
    \end{quote}
    Gehöre also später nicht zu den Mathematikern, die ihre Zeit damit vergeuden, solche Sätze, die in Fachkreisen längst bewiesen wurden, unter großen Mühen und auch nur halbgar neu zu beweisen, nur weil sie zu schlecht informiert sind; oder zu den Programmierern, die eine Prozedur furchtbar kompliziert und ineffizient programmieren, nur weil ihnen die frei zugänglichen Bibliotheken unbekannt sind, in denen die Algorithmen bereits hocheffizient implementiert sind! Bei Unklarheit frag am besten bei einer dedizierten KI nach.
\end{bem}


\begin{phasetwo}[Rumprobieren]
    Dies ist die kreative Phase. Nachdem ihr euch möglichst alle Hilfsmittel, die euch die Vorlesung zum Thema bereitstellt, vergegenwärtigt habt, müsst ihr nun irgendwie einen Beweis aus dem Hut zaubern. Oft werden eure Überlegungen auch dazu führen, dass ihr nochmal zu Phase 1 zurückgeht und weitere Definitionen und Sätze nachschlagt.
    \begin{itemize}
        \item Beleuchtet das Problem von mehreren Seiten. Wenn eine Implikation $A\to B$ zu beweisen ist: seht euch die Kontraposition $\neg B\to \neg A$ an und schaut, ob ihr dadurch eher auf eine Beweisidee kommt. Oder nehmt an, dass sowohl $A$ als auch $\neg B$ gelten und schaut, ob daran irgendetwas faul ist.
        \item In dieser Phase ist wirklich \emph{alles} erlaubt. Ihr könnt völlig ungerechtfertigt irgendwelche Vermutungen aufstellen und mit Hypothesen arbeiten, die euch zwar plausibel erschienen, über die ihr euch aber gar nicht hundertprozentig sicher seid. Ihr braucht euch hier an keinerlei Logikregeln halten und könnt jeden noch so fernliegenden Bullshit ausprobieren. In dieser Phase betreibt ihr „experimentelle Mathematik“, die nicht logisch fundiert sein muss.
        \item Manchmal kann ein Beweis „von hinten nach vorne“ gefunden werden: ihr beginnt mit der zu zeigenden Aussage und sucht nach Prämissen, unter deren Annahme ihr die Aussage beweisen könnt\footnote{Für ein Beispiel siehe \cref{hintennachvorne}.}. Dann versucht ihr, diese Prämissen zu beweisen, bis ihr irgendwann bei einer Aussage angekommen seid, die ihr schon an und für sich beweisen könnt. Ich markiere auf meinem Schmierblatt solche Gleichungen, die ich als Hypothesen verwende und die noch „zu zeigen“ sind, mit einem Ausrufezeichen, und solche Hypothesen, die mir im Beweis helfen könnten, an deren Gültigkeit ich jedoch zweifle, mit einem Fragezeichen:
        \begin{align*}
            a,b,c & \stackrel{!}{=} 0 && (\text{lies: „$a,b,c$ sollen gleich Null sein“}) \\
            \mathrm{Ext}^2_G(\calA,\Z/2\Z) & \stackrel{?}{=} 0 && (\text{lies: „Ist $\mathrm{Ext}^2_G(\calA,\Z/2\Z)$ wirklich Null?“})
        \end{align*}
        Beachtet aber: Während ihr in Phase 2 von hinten nach vorne arbeiten könnt, müsst ihr in Phase 3, wenn es um das Aufschreiben des Beweises geht, so gut es geht „von vorne nach hinten“ arbeiten.
        \item Haltet im Vorlesungsmaterial nach Aussagen von ähnlicher Art wie die Aufgabenstellung Ausschau. Möglicherweise könnt ihr Beweistechniken aus der Vorlesung imitieren.
        \item In dieser Phase werdet ihr möglicherweise mehrere Schmierblätter mit für andere Leute völlig unsinnigen, unlesbaren Skizzen vollschreiben. Egal! Es geht hier um \emph{eure} Ideenfindung und erst in der nächsten Phase werdet ihr eure Gedanken für Andere verständlich machen müssen.
        \item Werd im ersten Semester nicht zum Einzelkämpfer! Tausche dich mit deinen Zettelpartnern oder anderen StudentInnen aus! In dieser Phase geht es darum, einen möglichst großen Vorrat an Ideen anzuhäufen, aus dem sich früher oder später die Lösung formen muss. Manchmal hat dein Zettelpartner den entscheidenden Gedanken, der noch fehlt, um deine Strategie aufgehen zu lassen, und es wäre dumm und schade, wenn er ihn dir nicht mitteilte. Außerdem kann sich die Gedankenwelt deiner Partner fundamental von deiner eigenen unterscheiden und nur durch Austausch mit Anderen (einschließlich Lehrbücher und Internetseiten) kannst du ein vielseitiges Verständnis für mathematische Objekte gewinnen.
    \end{itemize}
    Diese Phase endet, sobald ihr einen Ansatz gefunden und weiterentwickelt habt, von dem ihr euch sicher seid, dass er zu einem wasserdichten Beweis taugt.

    Zu dem Beispiel mit der Basis im $\R^3$: Die Recherche hat ergeben, dass ich nur noch beweisen muss: Sind $a,b,c\in \R$ drei beliebige reelle Zahlen mit
        \[ a\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0  \]
    so müssen bereits $a,b,c=0$ sein. Da es sich um eine Gleichung im $\R^3$ handelt, kann ich sie in ein System dreier Gleichungen zerlegen:
    \[\begin{array}{ccccccc}
        a &+& 2b &+& c &=& 0 \\
        a &+& b &+& c & =& 0 \\
        2a && &+ &c & =& 0
    \end{array}\]
    Dieses lineare Gleichungssystem kann ich nun einerseits mit Schulwissen, andererseits mit dem in der LA-Vorlesung präsentierten \emph{Gauß-Algorithmus} lösen.

    Damit ist eine vielversprechende Beweisstrategie gefunden. Auf dem Schmierblatt vergewissere ich mich nun mit ein paar Umformungen, die für nicht-eingeweihte Leser keinen Sinn ergeben müssen, dass das Gleichungssystem tatsächlich auf $a,b,c=0$ führt:
    \begingroup
    \allowdisplaybreaks
    \begin{align*}
        \leadsto\quad & c = -2a \quad\leadsto\quad -a + b = 0 \quad\leadsto\quad b = a \quad\leadsto\quad a +2a-2a = 0 \\
        \leadsto\quad & a = 0 \quad\leadsto\quad c = -2a=0
    \end{align*}
    \endgroup
    Damit ist die Aufgabe im Prinzip gelöst. Jetzt muss die Lösung nur noch ordentlich aufgeschrieben werden.
\end{phasetwo}


\begin{phasethree}[Aufschreiben]
    In dieser Phase geht es darum, einen gut lesbaren Beweistext zu produzieren, der allen Regeln der Kunst gerecht wird. Oftmals werdet ihr in dieser Phase auf Schwächen im Beweis stoßen, die euch dazu zwingen, nochmal in Phase 2 zurückzugehen und Reparaturen vorzunehmen.
    \begin{itemize}
        \item Macht euch die logische Struktur eures Beweises deutlich und überlegt euch eine Gliederung der Beweisschritte. Schreibt diese in der Reihenfolge der logischen Argumentationskette auf, nicht in der Reihenfolge der kreativen Ideenkette, die euch auf den Beweis geführt hat. Ist der Beweis kompliziert, solltet ihr aber, sofern es eurem Leser hilft, ein paar Meta-Bemerkungen darüber, welche Idee hinter dem aktuellen Beweisschritt steckt, einstreuen.
        \item Sorgt für ein ausgeglichenes Wechselspiel zwischen Formeln und Umgangssprache.
        \item Stellt sicher, dass ihr jede Aussage, die ihr im Beweis verwendet und die nicht völlig naheliegend ist, begründet.
        \item Wenn ihr euch spezielle Aussagen aus der Vorlesung zunutze macht, schreibt so etwas wie: „Aus der Vorlesung ist bekannt“ oder „Nach Vorlesung gilt\dots“
        \item Zeige deinen Beweis deinen Zettelpartnern. Wenn sie ihn ohne Zusatzerklärungen nicht verstehen, muss er verbessert werden. Der Beweis muss am Ende selbsterklärend für deinen Tutor / deine Tutorin sein.
        \item Sollte sich herausstellen, dass eure Lösung eine Lücke besitzt, für die euch einfach keine Lösung einfällt -- lasst sie stehen. \emph{Ein häufiger Erstsemesterfehler besteht darin, viel zu viel Zeit in die Bearbeitung der Übungszettel zu investieren} -- Zeit, die nützlicher und nachhaltiger darin angelegt wäre, die Vorlesung zu reflektieren, Literatur zu studieren, Freundschaften aufzubauen und das Leben zu genießen.
        \item Sollte euer Beweis, wie gerade beschrieben, am Ende noch Lücken enthalten: Seid ehrlich zu euch selbst und eurem Tutor! Ihr werdet mehr Anerkennung und Respekt erwerben, wenn ihr in einer kurzen Anmerkung darauf aufmerksam macht, an welcher Stelle noch eine Lücke besteht, und erläutert, woran genau es scheitert, als wenn ihr versucht, eure Lücke mit wirren Formulierungen und komplizierten Formeln zu verschleiern.
    \end{itemize}
    Der letzte Punkt ist vielleicht der allerwichtigste: Niemand erwartet, dass ihr von Anfang an perfekte Zettelabgaben produziert! Es ist der Job eures Profs,  eures Tutors und euer selbst, euch mathematisches Arbeiten beizubringen. Falls ihr methodisches oder inhaltliches Unverständnis habt, dürft ihr das nicht verschleiern oder gar euch dafür schämen! Vielmehr solltet ihr versuchen, dieses Unverständnis zu reflektieren und klar auszuformulieren. Das allein ist schon ein schwieriges Unterfangen, für dessen Gelingen euch Anerkennung zusteht!

    Zu dem Beispiel mit der Basis im $\R^3$: Hier ist ein Beweis, den ich am Ende aufschreiben würde.
    \begin{proof}
        Aus der Vorlesung ist bekannt, dass, da der $\R^3$ ein dreidimensionaler Vektorraum ist, eine Familie dreier Vektoren im $\R^3$ genau dann eine Basis ist, wenn sie linear unabhängig ist. Demnach genügt es zu zeigen, dass $v_1,v_2,v_3$ linear unabhängig sind.

        Dazu seien $a,b,c\in \R$ mit
            \[ a\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0  \]
        Man erhält ein lineares Gleichungssystem
        \[\begin{array}{rcccccccc}
            \text{I} &&    a &+& 2b &+& c &=& 0 \\
            \text{II} && a &+& b &+& c &=& 0 \\
            \text{III} &&  2a && &+& c &=& 0
        \end{array}\]
        Nun gilt:
        \begingroup
        \allowdisplaybreaks
        \begin{align*}
            2a+c&=0 \quad \to\quad c = -2a \\
            \xrightarrow[\text{in II einsetzen}]{c=-2a}\quad -a+b &=0 \quad\to\quad b=a \\[0.5em]
            \xrightarrow[\text{in I einsetzen}]{b=a,\ c=-2a} \quad a+2a-2a &= 0 \quad\to\quad a= 0 \\
            \xrightarrow{b=a}\quad b &= 0 \\
            \xrightarrow[c=-2a]{a=0,} \quad c &= 0
        \end{align*}
        \endgroup
        Also sind $a,b,c=0$. Da $a,b,c\in \R$ beliebig gewählt waren, sind die $v_1,v_2,v_3$ linear unabhängig und somit eine Basis.
    \end{proof}
\end{phasethree}





\chapter{Mathematischer Jargon}


\begin{description}[labelindent=0pt, leftmargin=0pt]

    \item[abuse of notation:] Um die Übersichtlichkeit mathematischer Formelsprache zu wahren, wird gelegentlich ein Zeichen mit mehreren verschiedenen Bedeutungen zugleich oder einer inkorrekten Syntax verwendet. Ist beispielsweise $(G,*)$ eine Gruppe, so spricht man meist von „der Gruppe $G$“ und geht unterschwellig davon aus, dass die Verknüpfung $*$ vom Leser mitgedacht wird.

    \item[Ansatz:] Herangehensweise, einen Beweis zu führen, ein Problem zu lösen oder ein Objekt zu definieren. Beispielsweise ist die \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Completing_the_square}{quadratische Ergänzung} ein Ansatz zum Lösen quadratischer Gleichungen.

    \item[Ausgeartet:] Ein Objekt, das gewisse für die Formulierung der Theorie zuvorkommende Eigenschaften nicht besitzt. Das Gegenteil ist ein \textbf{nicht-ausgeartetes} Objekt. Beispielsweise ist ein Dreieck ausgeartet, wenn alle seine drei Eckpunkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

    \item[Beliebig:] Markiert die Formulierung einer Allaussage. In einem Beweis läutet die Fixierung eines \emph{beliebigen} Objekts den Beweis einer Allaussage ein.

    \item[Charakterisierung:] Äquivalente Beschreibung eines Objekts. Beispielsweise lassen sich gleichseitige Dreiecke darüber charakterisieren, dass alle Innenwinkel 60° betragen.

    \item[Echt:] wahlweise von der Bedeutung „strikt“ oder „nichttrivial“. Beispielsweise sind die \emph{echten Teiler} einer natürlichen Zahl $n$ alle Teiler von $n$, mit Ausnahme des „trivialen Teilers“ $n$ selbst. Die \emph{echten Teilmengen} einer Menge $M$ sind alle Teilmengen von $M$ mit Ausnahme der „trivialen Teilmenge“ $M$ (und eventuell $\emptyset$).

    \item[Eindeutig bestimmt:] Markiert das Vorliegen einer Kennzeichnung im Sinne von \cref{kennzeichnung}. Ein mathematisches Objekt ist durch eine Eigenschaft \emph{eindeutig bestimmt}, falls es das einzige Objekt mit dieser Eigenschaft ist. Beispielsweise ist der Mittelpunkt eines Kreises eindeutig bestimmt durch die Eigenschaft, dass er zu jedem Punkt auf dem Kreisrand denselben Abstand hat. Dagegen ist die komplexe Quadratwurzel von $-1$ nicht eindeutig bestimmt, weil sowohl die komplexe Zahl $i$ als auch die Zahl $-i$ jeweils Quadratwurzeln von $-1$ sind.

    \item[Elementar:] Eine mathematische Aussage ist \emph{elementar}, wenn ihr Beweis wenig Vorarbeit und Definitionen benötigt und auf wenige andere Sätze angewiesen ist . Andernfalls spricht man von einer \textbf{tiefen} Aussage. Werden im Laufe der Zeit neue Beweise gefunden, kann eine vormals tiefe Aussage elementar werden.

    \item[Fast alle:] Alle Elemente einer Menge mit Ausnahme einer im Kontext „kleinen“ Teilmenge. Hat in der Algebra oft die Bedeutung „alle bis auf endlich viele“.

    \item[Gegenbeispiel:] Ein Objekt, das eine Allaussage widerlegt, indem es dieser Aussage widerspricht. Beispielsweise ist die Aussage, dass jede reelle Zahl eine reelle Quadratwurzel besitzt, falsch, und wird durch das Gegenbeispiel $-1$ (und ebensogut jede andere negative Zahl) widerlegt.

    \item[Im Allgemeinen nicht:] Eine Aussage gilt \emph{im Allgemeinen nicht}, wenn sie nicht immer wahr ist. Beispielsweise besitzt eine reelle Zahlenfolge im Allgemeinen keinen Grenzwert.

    \item[Induzieren:] \index{induzieren} Sofern irgendein mathematisches Objekt $a$ automatisch bereits die Existenz eines weiteren mathematischen Objekts $b$ mit sich bringt, sagt man auch, das Objekt $b$ werde vom Objekt $a$ \emph{induziert}.

    Sind beispielsweise $X,Y$ zwei Mengen und $X\xrightarrow{f} Y$ eine Abbildung, so \emph{induziert} $f$ gemäß \cref{def:bildmenge} zwei Abbildungen zwischen den Potenzmengen:
    \begin{align*}
        \calP(X) \to \calP(Y) \ & , \ A\mapsto f(A) \\
            \calP(Y) \to \calP(X) \ & , \ B\mapsto f^{-1}(B)
    \end{align*}
    die Teilmengen von $X$ und $Y$ ihre Bild- und Urbildmengen zuordnen.

    \item[Kanonisch:] \index{kanonisch} Ein Objekt ist \emph{kanonisch}, wenn es sich um ein Standard-Beispiel handelt, wenn es als Standard-Struktur eines anderen Objekts angesehen wird oder wenn es \emph{natürlich} (siehe unten) ist. Andernfalls heißt es \textbf{unkanonisch}. Beispielsweise besitzt der $\R^n$ eine kanonische Basis, die sogenannte Standardbasis, wohingegen der Folgenraum $\R^\N$ keine kanonische Basis besitzt, die Wahl einer Basis daher unkanonisch wäre. Die „kanonische“ Gruppenstruktur auf $\Z$ besteht aus der Addition. Schreiben Mathematiker von „der Gruppe $\Z$“, so ist damit so gut wie immer die Gruppe $(\Z,+)$ gemeint.

    \item[Konstruktiv:] Ein Beweis oder eine Theorie sind \emph{konstruktiv}, wenn jede ihrer Existenzaussagen mit einem Beispiel belegt ist. Andernfalls sind sie \textbf{nichtkonstruktiv}. Beispielsweise ist die Aussage „Jede surjektive Abbildung besitzt eine Rechtsinverse“ nichtkonstruktiv.

    \item[Korollar:] Folgerung aus einem größeren mathematischen Satz.

    \item[Lemma:] Hilfssatz, der an und für sich von geringerem Interesse ist, oftmals aber wichtige und technische Beweisarbeit einschließt, auf die später im Beweis eines bedeutsamen Satzes zurückgegriffen wird.

    \item[Mathematischer Komparativ:] Schreiben Mathematiker so etwas wie „$a$ ist größer als $b$“, so ist darin oft auch der Fall mit eingeschlossen, dass $a$ und $b$ die Eigenschaft in genau demselben Grad aufweisen, also „$a$ ist größergleich $b$“. Möchte man diesen Fall explizit ausschließen, kann man so etwas wie „$a$ ist \emph{strikt} größer als $b$“ schreiben.

    \item[Modulo:] \index{modulo} Das Arbeiten mit Faktormengen. Der Begriff wird auch im übertragenen Sinne verwendet, wenn Objekte nicht vollständig, aber bis auf „vernachlässigbare“ Unterschiede voneinander unterschieden werden. Beispielsweise ist die Lösung der Gleichung $x^2=4$ in $\Z$ „eindeutig bis auf (\glq modulo\grq) Vorzeichen“.

    \item[Natürlich:] Eine mathematische Konstruktion wird \emph{natürlich} genannt, wenn sie besonders naheliegend ist, nicht auf willkürliche Wahlen angewiesen ist, aus den Definitionen „in natürlicher Weise“, quasi wie von selbst, emergiert oder sich in einem „universellen“, allgemeinen Kontext definieren lässt. Andernfalls heißt sie \textbf{unnatürlich}.

    \item[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (OBdA):] \index{OBdA} Eine Annahme in einem Beweis kann \emph{ohne Beschränkung der Allgemeinheit} (oder auch: \emph{ohne Einschränkung}) geschehen, wenn sie streng genommen zwar nicht jeden von der zu beweisenden Aussage eingeschlossenen Fall abdeckt, der Verlust an Allgemeinheit aber nur oberflächlich ist, indem sich der allgemeine Fall leicht aus dem spezielleren ableiten lässt oder so naheliegend zu beweisen ist, dass er nicht der Rede wert ist. Sind beispielsweise $m,n$ zwei natürliche Zahlen, so kann \emph{oBdA} angenommen werden, dass $m\le n$. Denn eine der beiden Zahlen wird kleinergleich die andere sein und im Fall $n\le m$ können die Variablen schlicht umbenannt werden.

    \item[Pathologisch:] Ein mathematisches Objekt verhält sich \emph{pathologisch}, wenn es in sich Eigenschaften vereint, die kontraintuitiv oder unerwünscht sind. Pathologien dienen oft als Gegenbeispiele um zu beweisen, dass eine Eigenschaft eine andere Eigenschaft nicht impliziert. Beispielsweise braucht eine stetige Funktion an keiner Stelle differenzierbar sein, wie die pathologische \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstrass-Funktion}{Weierstraß-Funktion} demonstriert. Das Gegenteil von „pathologisch“ ist \textbf{regulär}. In vielen Fachbereichen besitzt das Wort „regulär“ jedoch eine präzise festgelegte Bedeutung, die meist überaltert ist, aus Gründen der Kommunikation jedoch beibehalten wird.

    \item[QED:] Latein für \emph{quod erat demonstrandum} -- „was zu beweisen war“. Wurde früher ans Ende eines mathematischen Beweises geschrieben. Heutzutage sind kleine Symbole wie $\square$, $\blacksquare$ oder $\lozenge$ zur Markierung des Beweisendes üblich.

    \item[Rigoros:] Ein Beweis oder eine Definition ist \emph{rigoros}, wenn er logische Schlüsse präzise und ausführlich beschreibt. Ein nicht-rigoroser Beweis weicht gelegentlich auf ungenaue Plausibilitätsargumente aus, begründet die Gültigkeit gewisser Hypothesen nicht oder vernachlässigt Spezialfälle. Eine nicht-rigorose Definition bedient sich ungenauer Formulierungen mit der Intention, irgendwie werde dem Leser schon klar, was gemeint ist. Beispielsweise werden Potenzen in \cref{def:potenz} definiert durch
    \begin{align*}
        a^n & := \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{-mal}}
    \end{align*}
    was allerdings ungenau ist, weil nicht erklärt wird, was die Pünktchen $\dots$ und der Ausdruck „$n$-mal“ bedeuten sollen. Eine rigorose Definition geschähe rekursiv, wobei im Vorfeld erst bewiesen werden müsste, dass rekursive Definitionen wohldefiniert sind.

    \item[Trivial:] Eine mathematische Aussage heißt \emph{trivial}, wenn sie sich unmittelbar aus den Definitionen der in ihr vorkommenden Begriffe ergibt. Andernfalls heißt sie \textbf{nichttrivial}. Beispielsweise ist die Aussage „Eine Abbildung $X\xrightarrow{f} Y$ ist genau dann surjektiv, wenn $\im(f)=Y$“ trivial, wohingegen die Aussage „Rechtskürzbare Abbildungen sind surjektiv“ eher nichttrivial ist. Mit der Zeit werden dir immer mehr Aussagen trivial erscheinen.

    Ein mathematisches Objekt heißt \emph{trivial}, wenn es simpel konstruierbar und vielleicht auf den ersten Blick nicht von größerem Interesse ist. Beispielsweise ist $(\{0\},+)$ eine „triviale Gruppe“.

    \item[Verallgemeinerung:] Ein mathematischer Satz $A$ ist eine \emph{Verallgemeinerung} eines Satzes $B$, wenn er den Satz $B$ in sich einschließt oder wenn $B$ aus $A$ abgeleitet werden kann. Eine solche Ableitung kann allerdings alles andere als naheliegend oder einfach sein. Das Gegenteil ist der Begriff des \textbf{Spezialfalls} oder der \textbf{Instanz}. Beispielsweise ist der \emph{Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über Dedekindringen} eine Verallgemeinerung des Basisexistenzsatzes aus der LA1, demzufolge jeder (endlich erzeugte) Vektorraum eine Basis besitzt.

    \item[Vertreterabhängig:] \index{vertreterunabhaengig@vertreterunabhängig} Eine Konstruktion ist (vordergründig) \emph{vertreterabhängig}, wenn sie es mit Objekten zu tun hat, die auf verschiedenerlei Weise dargestellt werden können, allerdings erst nach Fixierung einer solchen Darstellung anwendbar ist. Beispielsweise kann jede rationale Zahl als Bruch der Gestalt $\frac{p}{q}$ mit $p\in \Z$, $q\in \N_{\ge 1}$ dargestellt werden, aber diese Darstellung ist nicht eindeutig, da beispielsweise $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$. Ein einzelner Bruch ist also nur einer von vielen Repräsentanten für ein und dieselbe Zahl. Die Ausdrücke
    \begin{align*}
        &\text{(i)} & \Q\setminus \{0\} \to \Q \ & ,\ \frac{p}{q} \mapsto \frac{q}{p} \\
        &\text{(ii)} & \Q \to \Q \ & ,\ \frac{p}{q} \mapsto p+q
    \end{align*}
    sind erst einmal vertreterabhängig, da sie Funktionswerte ausgehend von einer konkreten Repräsentation als Bruch vorschreiben. Oft ist es nötig zu zeigen, dass eine vordergründig vertreterabhängige Konstruktion in Wahrheit vertreterunabhängig ist, d.h. dass sie unabhängig von der Wahl eines Repräsentanten stets dasselbe Objekt liefert. Beispielsweise ist die Vorschrift aus (i) vertreterunabhängig und ergibt somit eine wohldefinierte Abbildung $\Q\setminus \{0\}\to \Q$. Dagegen ist die Vorschrift aus (ii) vertreterabhängig, da beispielsweise $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ aber $2+3\neq 4+6$. Daher ist, im Gegensatz zu (i), durch (ii) keine wohldefinierte Abbildung gegeben.

    \item[Wohldefiniert:] \index{wohldefiniert} Ein Objekt ist \emph{wohldefiniert}, wenn es tatsächlich die Anforderungen an diejenige Sorte von Dingen, der angehörig es per Definition sein soll, erfüllt. Diese Forderung schwingt in einer mathematischen Definition immer stillschweigend mit, ist unter Umständen jedoch nur mehr oder weniger offensichtlich erfüllt. Beispielsweise sind die „Funktionen“ aus \cref{aufg:wohldef} allesamt nicht wohldefiniert, es liegen also gar keine Funktionen vor, sondern nur Terme, die den Anschein erwecken, Funktionen zu definieren (und die eventuell nach geringfügiger Modifikation auch wohldefinierte Funktionen ergäben).

\end{description}





\begin{comment}
\chapter{Lehrbuch-Empfehlungen}


Da im Ersti-Info-Heft seit praktisch einem Jahrzehnt dieselben Bücher mit denselben Beschreibungstexten aufgeführt werden, will ich an dieser Stelle einige Bücher, die mich durchs Studium begleiteten, diskutieren.

Allen Empfehlungen zum Trotz solltest du dir selbst einen Eindruck der unzähligen verfügbaren Literatur verschaffen. Ich lege dir wärmstens ans Herz, in den ersten Semesterwochen mal einen Abstecher in die Lehrbuchausleihe im Neuenheimer Feld zu unternehmen, die Bücherregale zu durchstöbern und alle möglichen Bücher einmal aufzuschlagen, zu überfliegen und dir einen Eindruck zu verschaffen, ob sie dir gefallen könnten. Es schadet ja nichts, sich einen Haufen Bücher auszuleihen, selbst wenn man sie nach vier Wochen wieder ungelesen zurückgibt. Im Online-Katalog HEIDI gibt es außerdem ein riesiges Angebot digitaler Lehrbücher, die du dir bequem als Pdf runterladen kannst. Frage auch deine Tutoren nach Literaturempfehlungen! Ich habe mir in sechs Jahren Studium kein einziges Lehrbuch kaufen müssen.

Begehe nicht den Fehler, dich allein auf das Vorlesungsmaterial zu verlassen! Gerade zu den Grundvorlesungen gibt es hunderte gute Bücher und die Wahrscheinlichkeit, dass ausgerechnet dein Dozent den Stoff ebensogut vermittelt, ist verschwindend gering. Sturgeons Gesetz (\emph{``90\% of everything is crap''}) wird in der Konsultation von Mathe-Vorlesungen und -Literatur schmerzhaft spürbar (ärgerlicherweise aber erst dann, wenn man den Stoff woanders besser gelernt und Urteilsvermögen entwickelt hat).


\begin{enumerate}
    \item[] \textbf{Fischer, Bosch, Forster, Königsberger.} In beinahe jeder LA- und Ana-Vorlesung finden sich auf den Vorlesungshomepages Empfehlungen für die LA-Lehrbücher von Fischer und Bosch, sowie die Analysis-Lehrbücher von Forster und Königsberger. Was ich äußerst unglücklich und irrational finde, da ich alle vier Bücher für schlecht geschrieben halte und es weitaus bessere Alternativen gibt. Bosch ist schlicht langweilig; Fischer gerät über seinen „anschaulichen“ Beispielen zu sehr ins Schwafeln; Forster und Königsberger sind in der überalterten Tradition, die Ana1 ohne abstrakte Begriffsbildungen wie metrische Räume oder Banachräume zu vermitteln, steckengeblieben, wodurch Begriffe wie z.B. \emph{Umgebung} und \emph{gleichmäßige Konvergenz} erheblich an Klarheit einbüßen.

    \item[\cite{KM03}] \textbf{Kowalsky/Michler: Lineare Algebra.} Das beste der vielen LA-Lehrbücher, in die ich in meinen ersten Semestern einen Blick warf. Ein ausgewogenes Verhältnis zwischen Sätzen und Beispielen und inhaltlich nah an den Heidelberger Algebraikern. In der LA2 können die Heidelberger Angewandten jedoch stärker vom Buch abweichen.

    \item[\cite{Bro04}] \textbf{T. Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie.} Ein zweischneidiges Schwert. An vielen Stellen genial in der Beweisführung und Auswahl der Beispiele. Enthält unzählige clevere Ideen, die so in keinem anderen Buch zu finden sind. Bei aller Genialität leider häufig obskur und zu viele Gedanken zu kompakt auf einmal vermittelnd. Von diesem Buch kannst du lange etwas haben, beiß dich jedoch nicht im ersten Semester dran fest.

    \item[\cite{AE06}] \textbf{Amann/Escher: Analysis.} Trotz einiger erheblicher Schwächen den meisten Analysis-Büchern haushoch überlegen, insofern hier keine künstliche Trennung zwischen ein- und mehrdimensionaler Analysis gezogen wird und abstrakte Konzepte wie Topologien früh eingeführt werden. Eine hervorragende Auswahl von Beispielen und Anwendungen begleitet die abstrakte Theorie. Als ich in meinem vierten Semester die Funktionentheorie hörte, brauchte ich die Vorlesung praktisch nicht besuchen und kam schließlich mit Bravour durch die Klausur allein mit dem Wissen, das Amann/Escher in einem Nebenkapitel ihres Ana2-Buchs vermitteln. -- So groß unterscheidet sich diese Bücherreihe vom damaligen Heidelberger Vorlesungsbetrieb in der Effizienz ihrer Wissensvermittlung. Nichtsdestotrotz haben die Bücher ihre Schwächen. Die Notation ist eigenwillig und erschwert den Gebrauch als Nachschlagewerk. Ein echtes Meisterwerk ist lediglich das Ana1-Buch, im zweiten und dritten Band weichen die Autoren immer mehr von ihrer ursprünglichen Philosophie ab. Der Stil ist leider recht prätentiös und es werden an keiner Stelle alternative Zugänge oder die Historie diskutiert, sodass ein irreführender Eindruck von Alternativlosigkeit aufkommen kann.

    \item[\cite{Sch97}] \textbf{E. Schechter: Handbook of Analysis and Its Foundations.} Eine regelrechte Bibel der Funktionalanalysis und in ihrer Tiefe äußerst heterogen. In einigen Abschnitten erstigerecht und mit vielen besonnenen Erläuterungen, auch auf der Meta-Ebene mathematischen Arbeitens, die in anderen Büchern auf der Strecke bleiben. In weiten Teilen jedoch wohl nur für Fachleute, die an ihrer Masterarbeit schreiben, relevant. Am besten zu empfehlen, wenn das in den Grundvorlesungen bruchstückhaft vermittelte Wissen sich bereits setzen konnte und bereit dazu ist, in größere Strukturen eingeordnet zu werden.

    \item[\cite{Bra17}] \textbf{M. Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie.} Wo wir bei größeren Strukturen sind: das Werkzeug par excellence, Ordnung im Kopf zu schaffen und Brücken zwischen den Vorlesungen zu schlagen, ist die Kategorientheorie, deren bestes deutschsprachiges Lehrbuch dasjenige von Martin Brandenburg ist. Jedoch ist Kategorientheorie, bis auf einige Grundbegriffe, nicht Erstsemester-gerecht und in ihrem hohen Grad an Abstraktion erst verständlich, sobald man bereits einen ausgedehnten Begriffs- und Beispielhorizont besitzt. Nichtsdestotrotz solltest du versuchen, Kategorientheorie so früh wie möglich zu lernen, am besten vielleicht begleitend zu den Vorlesungen Algebra 1, Algebraische Topologie oder Mengentheoretische Topologie im dritten Semester.

    \item[\cite{Dei}] \textbf{O. Deiser: Einführung in die Mengenlehre.} Ein anfängergerechter Rundgang durch die Mengenlehre, besonders zu empfehlen aufgrund der vielen historischen Bemerkungen und Zitate von Originalarbeiten. Leidet jedoch unter der Mengentheoretiker-Krankheit, sich hier und da in esoterischen Schwafeleien zu verzetteln oder auf neurotisch-überformaler Notation zu beharren. An einigen Stellen finde ich es in seinem Zugang irreführend, sodass es weniger als Einstiegslektüre, besser als Begleitlektüre gelesen werden sollte. Vom oft empfohlenen Standardwerk von Ebbinghaus rate ich ab, vielleicht solltest du dich zur Mengenlehre besser in der englischsprachigen Literatur umsehen.
\end{enumerate}
\end{comment}





\chapter{Formelsammlung Logik und Mengen} \label{anhang:formelsammlung}


\section{Einige aussagenlogische Tautologien}
Versuche bloß nicht, alle Formeln mit Wahrheitstafeln zu verifizieren! -- das habe ich auch nie. Stattdessen empfehle ich, dass du dir, wenn du einmal in der Stimmung bist, eine Handvoll Formeln herauspickst und versuchst, sie dir intuitiv klarzumachen oder mithilfe der Beweistechniken aus \cref{chap:beweise} zu beweisen. Auf diese Weise trainierst du logisches Denken und den Umgang mit Junktoren und Quantoren.

In den folgenden Formeln seien
\begin{itemize}
    \item $A,B,C$ drei beliebige Aussagen.
    \item $\top$ eine wahre Aussage.
    \item $\bot$ eine falsche Aussage.
\end{itemize}
Es gilt:
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{align*}
    \begin{split}
        C\to (A\land B) & \quad\leftrightarrow\quad (C\to A) \land (C\to B) \\
        (A\lor B) \to C & \quad\leftrightarrow\quad (A\to C) \land (B\to C)
    \end{split} \\[0.8em]
    (A \to B) \land (B \to C) & \quad \to\quad A \to C \\ 
    (A \to B) \land (B \to A) & \quad\leftrightarrow\quad A \leftrightarrow B \\
    (A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C) & \quad \to\quad A\leftrightarrow C \\[0.8em]
    (A \land B) \to C & \quad\leftrightarrow\quad A \to (B \to C) \\
    A \to (B \to C) & \quad\leftrightarrow\quad  B \to (A \to C) \\[0.8em]
    \begin{split}
        (A \land B) \land C & \quad\leftrightarrow\quad A \land (B \land C) \\
        (A \lor B) \lor C & \quad\leftrightarrow\quad  A \lor (B \lor C)
    \end{split} \tag{Assoziativgesetze} \\[0.8em]
    \begin{split}
        A \land B & \quad\leftrightarrow\quad  B \land A \\
        A \lor B & \quad\leftrightarrow\quad  B \lor A \\
        A\leftrightarrow B &\quad\leftrightarrow\quad  B \leftrightarrow A
    \end{split} \tag{Kommutativgesetze} \\[0.8em]
    \begin{split} A \land (B \lor C) & \quad\leftrightarrow\quad  (A \land B) \lor (A \land C) \\
        A \lor (B \land C) & \quad\leftrightarrow\quad  (A \lor B) \land (A \lor C)
    \end{split} \tag{Distributivgesetze} \\[0.8em]
    \begin{split}
        A \to B & \quad\leftrightarrow\quad (A \land B) \leftrightarrow A \\
        A \to B & \quad\leftrightarrow\quad (A \lor B) \leftrightarrow B
    \end{split} \\[0.8em]
    A & \quad\to\quad \top \tag{Wahres folgt aus Beliebigem} \\
    \bot & \quad\to\quad A \tag{ex falso quodlibet} \\[0.8em]
    \begin{split}
        A \land \neg A & \quad\leftrightarrow\quad \bot \\
        A \lor \neg A & \quad\leftrightarrow\quad \top
    \end{split} \\[0.8em]
    A \to B & \quad \leftrightarrow\quad \neg B \to \neg A \\
    A & \quad\leftrightarrow\quad \neg\neg A \tag{Regel der doppelten Verneinung} \\[0.8em]
    \begin{split}
        \neg (A \lor B) & \quad\leftrightarrow\quad \neg A \land \neg B\\
        \neg(A \land B) & \quad\leftrightarrow\quad \neg A \lor \neg B  %nur in klassischer Logik
    \end{split} \tag{Regeln von De Morgan} \\[0.8em]
    A\to B & \quad\leftrightarrow\quad  \neg A \lor B \\
    \neg (A\to B) & \quad\leftrightarrow\quad  A \land \neg B \\[0.8em]
    \begin{split}
        (A\land B) \to C & \quad\leftrightarrow\quad (A\to C) \lor (B\to C) \\ %nur in klassischer Logik
        A \to (B\lor C) & \quad\leftrightarrow\quad (A\to B) \lor (A\to C) %nur in klassischer Logik
    \end{split} \\[0.8em]
    A\to B & \quad \lor\quad B\to C \\
    (A\to B)\to A &\quad \to\quad A \tag{Peirce’sche Regel}
\end{align*}
\endgroup

 
 
 
 
\section{Einige prädikatenlogische Tautologien}
In den folgenden Formeln seien
\begin{itemize}
    \item $A$ eine Aussage.
    \item $E(x)$ eine Eigenschaft.
    \item $R(x,y)$ eine zweistellige Relation.
\end{itemize}
Für die mit einem (*) markierten Aussagen sei außerdem angenommen, dass es mindestens ein Objekt vom Typ der Variablen $x$ gibt. Bei der Russellschen Antinomie sei außerdem angenommen, dass beide Variablen $x,y$ vom selben Typ sind.
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{align*}
    \begin{split}
        A \to (\forall x : E(x)) \quad & \leftrightarrow\quad \forall x : (A \to E(x)) \\
        (\exists x : E(x)) \to A \quad & \leftrightarrow\quad \forall x : (E(x) \to A)
    \end{split} \\[0.8em]
    \begin{split}
        \forall x\ \forall y:\ R(x,y) \quad & \leftrightarrow\quad \forall y\ \forall x:\ R(x,y) \\
        \exists x\ \exists y:\ R(x,y) \quad & \leftrightarrow\quad \exists y\ \exists x:\ R(x,y) \\
        \exists x\ \forall y:\ R(x,y) \quad & \to\quad \forall y\ \exists x:\ R(x,y)
    \end{split} \tag{Vertauschen von Quantoren} \\[0.8em]
    (\forall x : E(x)) \land A \quad & \leftrightarrow^* \quad\hspace{-.4em} \forall x :(E(x) \land A) \\
    (\exists x : E(x)) \lor A \quad & \leftrightarrow^* \quad\hspace{-.4em} \exists x : (E(x) \lor A) \\
    (\exists x : E(x)) \land A \quad & \leftrightarrow\quad \exists x : (E(x) \land A) \\
    (\forall x : E(x)) \lor A \quad & \leftrightarrow\quad \forall x :(E(x) \lor A) \\[0.8em] %nur in klassischer Logik
    \begin{split}
        \nexists x: E(x) \quad & \leftrightarrow\quad \forall x: \neg E(x) \\
        \neg (\forall x: E(x)) \quad & \leftrightarrow\quad \exists x: \neg E(x) %nur in klassicher Logik
    \end{split} \tag{Quantorennegationsregeln} \\[0.8em]
    \begin{split}
        A \to( \exists x : E(x)) \quad & \leftrightarrow^*\quad\hspace{-.4em} \exists x : ( A\to E(x)) \\ %nur in klassischer Logik
        (\forall x : E(x)) \to A \quad & \leftrightarrow^*\quad\hspace{-.4em} \exists x : (E(x) \to A) %nur in klassischer Logik
    \end{split} \\[0.8em]
    \nexists x\ \forall y : (R(x,y) \ &\leftrightarrow\ \neg R(y,y)) \tag{Russellsche Antinomie}
\end{align*}
\endgroup





\section{Regeln für $\cap$, $\cup$ und $\setminus$} \label{anhang:capcupregeln}
Dieser Abschnitt enthält eine Menge mengentheoretischer Gleichungen, die du während der Vorlesungen eher selten benötigen wirst. Statt sie alle auswendig zu lernen, empfehle ich dir, wenn du einmal in der Stimmung bist, eine Handvoll Formeln herauszupicken, sie durch Bilder und Beispiele zu veranschaulichen und schließlich zu beweisen. Vergleiche die mengentheoretischen Formeln auch einmal mit den logischen Tautologien und halte nach Verwandtschaften Ausschau. Auf diese Weise trainierst du deine mengentheoretische Intuition und mengentheoretisches Argumentieren. Solltest du später einmal einige Formeln benötigen, wirst du sie dir dann schnell selbst herleiten können.

Für die nachfolgenden Formeln seien
\begin{itemize}
    \item $X,Y,Z$ drei Mengen.
    \item Um die Komplemente „$(-)^c$“ zu interpretieren, sei außerdem eine gemeinsame Obermenge $V$ von $X,Y,Z$ fixiert.
\end{itemize}
Es gilt:
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{align*}
    (X\subseteq Z) \ \text{und}\ (Y\subseteq Z)  & \quad \leftrightarrow\quad X\cup Y \subseteq Z  \\
    (Z\subseteq X) \ \text{und}\ (Z\subseteq Y) & \quad \leftrightarrow\quad Z \subseteq X\cap Y  \\[0.8em]
    \begin{split}
        (X \cap Y) \cap Z &  \quad = \quad  X \cap (Y \cap Z) \\
        (X \cup Y) \cup Z &  \quad = \quad  X \cup (Y \cup Z)
    \end{split} \tag{Assoziativgesetze} \\[0.8em]
    \begin{split}
        X \cap Y &  \quad = \quad  Y\cap X \\
        X \cup Y &  \quad = \quad  Y\cup X
    \end{split} \tag{Kommutativgesetze} \\[0.8em]
    \begin{split}
        X \cap (Y \cup Z) &  \quad = \quad  (X\cap Y) \cup (X\cap Z) \\
        X \cup (Y\cap Z) &  \quad = \quad  (X\cup Y) \cap (X\cup Z)
    \end{split} \tag{Distributivgesetze} \\[0.8em]
    X \subseteq Y & \quad \leftrightarrow\quad X\cap Y  =  X \\
    X \subseteq Y & \quad \leftrightarrow\quad X\cup Y = Y \\[0.8em]
    \begin{split}
        X \cap X^c & \quad = \quad  \emptyset \\
        X \cup X^c & \quad = \quad  V
    \end{split} \tag{Komplementgleichungen} \\[0.8em]
    X \subseteq Y & \quad \leftrightarrow\quad Y^c \subseteq X^c \\
    X^{cc} &  \quad = \quad  X \\[0.8em]
    \begin{split}
        (X\cup Y)^c &  \quad = \quad  X^c \cap Y^c \\
        (X\cap Y)^c &  \quad = \quad X^c \cup Y^c
    \end{split} \tag{Regeln von De Morgan} \\[0.8em]
    X \subseteq Y & \quad \leftrightarrow\quad X^c \cup Y = V \\
    X \nsubseteq Y & \quad \leftrightarrow\quad X\cap Y^c \neq \emptyset \\[0.8em]
    (X \cap Y) \setminus Z & \quad =\quad(X\setminus Z)\cap (Y\setminus Z) \\
    (X\cup Y)\setminus Z & \quad =\quad (X\setminus Z)\cup (Y\setminus Z) \\
        X \setminus (Y \cup Z) & \quad =\quad (X \setminus Y) \cap (X \setminus Z)\\
        X \setminus (Y \cap Z) & \quad =\quad (X \setminus Y) \cup (X \setminus Z) \\[0.8em]
    (X \cup Y) \setminus (X \cap Y) & \quad =\quad (X \setminus Y) \ \dot\cup\ (Y \setminus X) \tag{symmetrische Differenz} \\
    X\setminus Y \subseteq Z & \quad \leftrightarrow\quad X\subseteq Y\cup Z \tag{„Monus“-Eigenschaft}
\end{align*}
\endgroup




 
\section{Regeln für $\bigcap_i$ und $\bigcup_i$} \label{anhang:bigcapcupregeln}
In den folgenden Formeln seien
\begin{itemize}
    \item $A$ eine beliebige Menge.
    \item $I,J,K$ drei Indexmengen und $f:K\to I$ eine surjektive Abbildung.
    \item $(X_i)_{i\in I}$, $(Y_i)_{i\in I}$, $(M_{ij})_{(i,j)\in I\times J}$ drei Familien von Mengen.
    \item Damit die Komplemente „$(-)^c$“ Sinn ergeben, sei eine gemeinsame Obermenge $V$ der $X_i$'s fixiert.
\end{itemize}
Für die mit einem (*) markierten Gleichungen sei außerdem angenommen, dass $I\neq\emptyset$.
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{align*}
    (\forall i\in I : X_i \subseteq A) & \quad\leftrightarrow\quad\hspace{-.24em} \smashoperator[l]{\bigcup_{i\in I}} X_i \subseteq A \\
    (\forall i\in I : A\subseteq X_i) & \quad\leftrightarrow\quad\hspace{-.24em} A \subseteq \bigcap_{i\in I} X_i \\[0.8em]
    \begin{split}
    \bigcap_{i\in I} \bigcap_{j\in J} M_{ij} & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcap_{j\in J}}\bigcap_{i\in I} M_{ij} \\
    \bigcup_{i\in I} \bigcup_{j\in J} M_{ij} & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcup_{j\in J}}\bigcup_{i\in I} M_{ij} \\
    \bigcup_{i\in I}\bigcap_{j\in J} M_{ij} & \quad\subseteq\quad \smashoperator[l]{\bigcap_{j\in J}}\bigcup_{i\in I} M_{ij}
    \end{split} && \\[0.8em]
    (\bigcap_{i\in I} X_i) \cap A & \quad =^* \quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\bigcap_{i \in I}} (X_i \cap A) \\
    (\bigcup_{i\in I} X_i) \cup A & \quad =^* \quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\bigcup_{i\in I}} (X_i \cup A) \\
    (\bigcup_{i\in I} X_i) \cap A & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcup_{i\in I}} (X_i \cap A) \\
    (\bigcap_{i\in I} X_i) \cup A & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcap_{i\in I}} (X_i \cup A) \\ %nur in klassischer Logik
    \intertext{\qquad\quad$\{ M\in A\mid M\ \text{ist eine Menge und}\ M\notin M \} \notin A$ \hfill (Russellsche Antinomie)}
    \begin{split}
        \bigcap_{i\in I} X_i & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcap_{k\in K}} X_{f(k)} \\
        \bigcup_{i\in I} X_i & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcup_{k\in K}} X_{f(k)}
    \end{split} \tag{Kommutativgesetze} \\[0.8em]
    \begin{split}
        \bigcup_{i \in I} \bigcap_{j \in J} M_{ij} & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcap_{g \in \Abb(I,J)}}\ \bigcup_{i \in I} M_{ig(i)} \\ %nur mit Auswahlaxiom
        \bigcap_{i \in I} \bigcup_{j \in J} M_{ij} & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcup_{g \in \Abb(I,J)}}\ \bigcap_{i \in I} M_{ig(i)} %nur mit Auswahlaxiom
    \end{split} \tag{Distributivgesetze} \\[0.8em]
    \begin{split}
    (\bigcup_{i\in I} X_i)^c & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcap_{i\in I}} X_i^c \\
    (\bigcap_{i\in I} X_i)^c & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcup_{i\in I}} X_i^c
    \end{split} \tag{Regeln von De Morgan} \\[0.8em]
    (\bigcap_{i\in I} X_i) \setminus A & \quad =^* \quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\bigcap_{i\in I}} (X_i \setminus A)  \\
    (\bigcup_{i\in I} X_i) \setminus A & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcup_{i\in I}} (X_i \setminus A) \\
    A \setminus (\bigcap_{i\in I} X_i) & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcup_{i\in I}} (A \setminus X_i) \\
    A \setminus (\bigcup_{i\in I} X_i) & \quad =^* \quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\bigcap_{i\in I}} (A \setminus X_i)
\end{align*}
\endgroup





\section{Regeln für $\prod_i$ und $\bigsqcup_i$} \label{anhang:prodregeln}
Für die nachfolgenden Formeln seien
\begin{itemize}
    \item $A,B,C,D$ vier Mengen.
    \item $(X_i)_{i\in I}$, $(Y_i)_{i\in I}$, und $(M_{ij})_{(i,j)\in I\times J}$ drei Mengenfamilien.
\end{itemize}
Für die mit einem (*) markierten Gleichungen sei außerdem angenommen, dass $I\neq\emptyset$.
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{align*}
    \forall i\in I:\ X_i\subseteq Y_i & \quad\to\quad\hspace{-.24em} \smashoperator[l]{\prod_{i\in I}} X_i \subseteq \prod_{i\in I} Y_i \\
    \forall i\in I:\ X_i\neq\emptyset & \quad\leftrightarrow\quad\hspace{-.24em} \smashoperator[l]{\prod_{i\in I}} X_i \neq \emptyset \tag{Auswahlaxiom} \\[0.8em] %nur mit Auswahlaxiom
    \bigcap_{i\in I} \prod_{j\in J} M_{ij} & \quad =^* \quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\prod_{j \in J}} \bigcap_{i \in I} M_{ij} \\
    \bigcup_{i\in I} \prod_{j\in J} M_{ij} & \quad\subseteq\quad \smashoperator[l]{\prod_{j \in J}} \bigcup_{i\in I} M_{ij} \\
    \prod_{i \in I} \bigcup_{j \in J} M_{ij} & \quad =\quad \smashoperator[l]{\bigcup_{g \in \Abb(I,J)}}\ \prod_{i \in I} M_{ig(i)} \\[0.8em] %nur mit Auswahlaxiom
    (\bigcap_{i\in I} X_i ) \times A & \quad =^* \quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\bigcap_{i\in I}} ( X_i \times A ) \\
    (\bigcup_{i\in I} X_i ) \times A & \quad = \quad \smashoperator[l]{\bigcup_{i\in I}} ( X_i \times A) \\[0.8em]
    (A \setminus B) \times C & \quad = \quad (A \times C) \setminus (B \times C) \\
    (A \times B) \setminus (C \times D) & \quad = \quad ((A \setminus C) \times B) \ \dot\cup\ (C \times (B \setminus D)) \\ %nur in klassischer Logik
    (A \times B) \cup (C \times D) & \quad = \quad ((A \setminus C) \times B)  \ \dot\cup\ ((A \cap C) \times (B \cup D)) \ \dot\cup\ ((C \setminus A) \times D) \\[0.8em] %nur in klassischer Logik
    \exists i\in I:\ X_i\neq\emptyset & \quad\leftrightarrow\quad\hspace{-.24em} \smashoperator[l]{\bigsqcup_{i\in I}} X_i \neq \emptyset \\
    \forall i\in I:\ X_i\subseteq Y_i & \quad\leftrightarrow\quad\hspace{-.24em} \smashoperator[l]{\bigsqcup_{i\in I}} X_i \subseteq \bigsqcup_{i\in I} Y_i \\[0.8em]
    \bigcup_{i \in I} \bigsqcup_{j \in J} M_{ij} & \quad = \quad \smashoperator[l]{\bigsqcup_{j \in J}} \bigcup_{i \in I} M_{ij} \\
    \bigcap_{i \in I} \bigsqcup_{j \in J} M_{ij} & \quad =^* \quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\bigsqcup_{j \in J}} \bigcap_{i \in I} M_{ij} \\[0.8em]
    (\bigcup_{i\in I} X_i ) \sqcup A & \quad =^* \quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\bigcup_{i\in I}} ( X_i \sqcup A ) \\
    (\bigcap_{i\in I} X_i ) \sqcup A & \quad =^*\quad\hspace{-.4em} \smashoperator[l]{\bigcap_{i\in I}} ( X_i \sqcup A ) \\[0.8em] %nur in klassischer Logik
    (\bigsqcup_{i\in I} X_i) \setminus (\bigsqcup_{i\in I} Y_i) & \quad = \quad \smashoperator[l]{\bigsqcup_{i\in I}} (X_i \setminus Y_i)
\end{align*}
\endgroup





\section{Regeln für Bilder und Urbilder}
In den folgenden Formeln seien
\begin{itemize}
    \item $X,Y,Z$ drei Mengen.
    \item $\begin{tikzcd}[cramped, column sep=small] X \ar[r, "f"] &  Y\ar[r, "g"] & Z \end{tikzcd}$ zwei Abbildungen.
    \item $(X_i)_{i\in I}$ eine Familie von Teilmengen von $X$ und $(Y_i)_{i\in I}$ eine Familie von Teilmengen von $Y$.
    \item $A,U,V\subseteq X$ und $B,S,T\subseteq Y$ und $C\subseteq Z$ weitere Teilmengen.
\end{itemize}
Es gilt:
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{align*}
    \begin{split}
    (g\circ f)(A) & \quad=\quad g(f(A)) \\
    (g\circ f)^{-1}(C) & \quad=\quad f^{-1}(g^{-1}(C))
    \end{split} \tag{Funktorialität} \\[0.8em]
    \begin{split}
        U\subseteq V & \quad \to\quad f(U) \subseteq f(V) \\
        S\subseteq T & \quad \to\quad f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)
    \end{split} \tag{$f$ und $f^{-1}$ sind inklusionserhaltend} \\[0.8em]
    f(A) \subseteq B & \quad \leftrightarrow\quad A \subseteq f^{-1}(B) \tag{Bild-Urbild-Adjunktion} \\
    A & \quad \subseteq\quad f^{-1}(f(A)) \\
    f(f^{-1}(B)) & \quad=\quad B\cap \im(f) \\[0.8em]
    f^{-1}(\bigcap_{i \in I} Y_i) & \quad=\quad \bigcap_{i \in I} f^{-1}(Y_i) \\
    f^{-1} (\bigcup_{i \in I} Y_i) & \quad=\quad \bigcup_{i \in I} f^{-1}(Y_i) \\[0.8em]
    f(\bigcup_{i \in I} X_i) & \quad=\quad \bigcup_{i \in I} f(X_i) \\
    f(\bigcap_{i \in I} X_i) & \quad \subseteq\quad \bigcap_{i \in I} f(X_i) \\[0.8em]
    f^{-1}(S\setminus T) & \quad=\quad f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T) \\
    f(U\setminus V) & \quad \supseteq\quad f(U)\setminus f(V)
\end{align*}
\endgroup





\section{Einige natürliche Bijektionen} \label{anhang:natuerlichebijektionen}
Dieser Abschnitt enthält eine Liste von „natürlichen Entsprechungen“ von Mengen. Es handelt sich dabei nicht um Gleichungen im strikten Sinne, weshalb ich kein Gleichheitszeichen $=$ schreibe, jedoch können die Elemente der einen Menge jeweils „natürlich“ mit den Elementen der anderen Menge „identifiziert“ werden, d.h. es gibt eine naheliegende Bijektion zwischen beiden Mengen. Dies notiere ich mit dem Zeichen „$\cong$“. Ich werde keine konkreten Bijektionen angeben. Versuche selbst einmal herauszufinden, inwiefern die Elemente der einen Menge jeweils den Elementen der anderen „entsprechen“.

Es seien
\begin{itemize}
    \item $X,Y,Z$ drei Mengen.
    \item $I,J,K$ drei Indexmengen und $\sigma : K\to I$ eine bijektive Abbildung.
    \item $(X_i)_{i\in I}$, $(Y_i)_{i\in I}$ und $(M_{ij})_{(i,j)\in I\times J}$ drei Mengenfamilien.
    \item Die Zeichen „$0$“, „$1$“ und „$2$“ sollen neben den Zahlen Null, Eins und Zwei auch jeweils eine beliebige null-, ein- bzw. zweielementige Menge bezeichnen.
\end{itemize}
Dann gibt es natürliche Bijektionen:
\begingroup
\allowdisplaybreaks
\begin{align*}
    \Abb(X,Y) & \quad\cong\quad Y^X \tag{Gleichwertigkeit von Abbildungen und Familien} \\[0.8em]
    \Abb(X,\prod_{i\in I} Y_i) & \quad\cong\quad \prod_{i\in I} \Abb(X,Y_i) \tag{Universelle Eigenschaft des Produkts} \\
    \Abb(\bigsqcup_{i\in I} X_i,Y) & \quad\cong\quad \prod_{i\in I} \Abb(X_i,Y) \tag{Universelle Eigenschaft des Koprodukts} \\[0.8em]
    \calP(X) & \quad\cong\quad \Abb(X,2) \\
    \calP(X\times Y) & \quad\cong\quad \Abb(X,\calP(Y)) \\
    \Abb(X\times Y,Z) & \quad\cong\quad \Abb(X,\Abb(Y,Z)) \tag{Currying} \\[0.8em]
    1 \times X & \quad\cong\quad X \\
    (X\times Y)\times Z & \quad\cong\quad X\times (Y\times Z) \\
    X\times Y & \quad\cong\quad Y\times X \\[0.8em]
    X\sqcup 0 & \quad\cong\quad X \\
    (X\sqcup Y)\sqcup Z & \quad\cong\quad X\sqcup (Y\sqcup Z) \\
    X \sqcup Y & \quad\cong\quad Y\sqcup X
    \\[0.8em]
    0 \times X & \quad\cong\quad 0 \tag{Absorbierende Null} \\
    X \times (Y\sqcup Z) & \quad\cong\quad (X\times Y)\sqcup (X\times Z) \tag{Distributivgesetz} \\[0.8em]
    X^{Y\sqcup Z} & \quad\cong\quad X^Y \times X^Z \\
    (X^Z)^Y & \quad\cong\quad X^{Y\times Z} \\
    (X\times Y)^Z & \quad\cong\quad X^Z \times Y^Z \\
    X^1 & \quad\cong\quad X \\
    X^0 & \quad\cong\quad 1 \\
    1^X & \quad\cong\quad 1 \\[0.8em]
    \prod_{i\in I} \prod_{j\in J} M_{ij} & \quad\cong\quad \smashoperator[l]{\prod_{j\in J}} \prod_{i\in I} M_{ij} \\
    \bigsqcup_{i\in I} \bigsqcup_{j\in J} M_{ij} & \quad\cong\quad \smashoperator[l]{\bigsqcup_{j\in J}} \bigsqcup_{i\in I} M_{ij}
    \\[0.8em]
    \prod_{i\in I} X_i & \quad\cong\quad \smashoperator[l]{\prod_{k\in K}} X_{\sigma(k)} \\
    \bigsqcup_{i\in I} X_i & \quad\cong\quad \smashoperator[l]{\bigsqcup_{k\in K}} X_{\sigma(k)} \\[0.8em]
    X \times (\bigsqcup_{i\in I} Y_i) & \quad\cong\quad \smashoperator[l]{\bigsqcup_{i\in I}} (X\times Y_i) \\
    \prod_{i\in I} \bigsqcup_{j\in J} X_{ij} & \quad\cong\quad \smashoperator[l]{\bigsqcup_{g\in \Abb(I,J)}}\ \prod_{i\in I} X_{ig(i)} \\[0.8em]
    X^{\bigsqcup_{i\in I} Y_i} & \quad\cong\quad \smashoperator[l]{\prod_{i\in I}} X^{Y_i} \\
    (\prod_{i\in I} X_i)^Y & \quad\cong\quad \smashoperator[l]{\prod_{i\in I}} X_i^Y
\end{align*}
\endgroup





\chapter{Lösungen zu ausgewählten Aufgaben} \label{anhang:loesungen}


Die Lösungen beinhalten keine Herleitungen und sind nur zur Kontrolle gedacht.


\begin{loes}[zu \cref{aufg:wtafeln}] \quad
    \[ \begin{tabular}{cc|cccc}
        $A$ & $B$  & $\neg(A\lor B)$ & $(\neg A \to A) \to A$ & $A\land(B\to\neg(A\land B))$ & $(A\to B)\lor(B\to A)$ \\
        \hline
        w&w& f & w & f & w \\
        w&f& f & w & w & w \\
        f&w& f & w & f & w \\
        f&f& w & w & f & w
    \end{tabular} \]
\end{loes}


\begin{loes}[zu \cref{aufg:mengenvsfamilien}]
    Insgesamt liegen genau fünf verschiedene Objekte vor.
    \begin{align*}
        &I = \{1,2,3,4,5\} = \{2,1,3,4,5,5\} \\
        &a = (a_i)_{i\in I} = (3,4,5,6,7) \\
        &\{a_i\mid i \in I\} = \{4,3,5,6,7\} \\
        &(4,3,5,6,7) \\
        &(2,1,3,4,5,5)
    \end{align*}
\end{loes}


\begin{loes}[zu \cref{aufg:elemente}] \quad
    \begin{align*}
        \N & \in \N & \times & & \N & \subseteq \N & \checkmark && \N & \in \calP(\N) & \checkmark & &  \N & \subseteq \calP(\N) & \times &\\
        \N & \in \{ \N\} & \checkmark && \N & \subseteq \{ \N\} & \times && \{ \N\} & \in \{ \N\} & \times && \{\N\} & \subseteq \{ \N\} & \checkmark & \\
        \{\N\} & \in \calP(\N) & \times && \{ \N\} & \subseteq \calP(\N) & \checkmark && \calP(\N) & \in \calP(\N) & \times && \calP(\N) & \subseteq \calP(\N) & \checkmark & \\
        \emptyset & \in \emptyset & \times && \emptyset &\subseteq \emptyset & \checkmark && \emptyset & \in \calP(\emptyset) & \checkmark && \{\emptyset\} & = \calP(\emptyset) & \checkmark &
    \end{align*}
\end{loes}


\begin{loes}[zu \cref{aufg:insurbi}] \quad
    \[ \begin{tabular}{rccc}
        & injektiv  & surjektiv & bijektiv \\
        \cmidrule(l{1em}r{0.5em}){2-4}
        a) & \checkmark & $\times$ & $\times$ \\
        b) & $\times$ & \checkmark & $\times$ \\
        c) & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
        d) & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
        e) & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
        f) & \begin{tabular}{l} gdw. $Y$ höchstens ein- \\ elementig oder $X=\emptyset$ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} gdw. $Y\neq\emptyset$ \\ oder $X=\emptyset$ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} gdw. $Y$ Einermenge \\ oder $X=\emptyset$ \end{tabular}
    \end{tabular} \]
\end{loes}


\begin{loes}[zu \cref{aufg:relationen}] \quad
    \[ \begin{tabular}{rcccccc}
        & refl.  & trans. & sym. & antisym. & Ord.rel. & Äq.rel. \\
        \cmidrule(lr){2-7}
        a) & \checkmark & $\times$ & \checkmark & $\times$ & $\times$ & $\times$ \\
        b) & $\times$ & $\times$ & \checkmark & $\times$ & $\times$ & $\times$ \\
        c) & $\times$ & \checkmark & $\times$ & \checkmark & $\times$ & $\times$ \\
        d) & \checkmark & \checkmark & $\times$ & \checkmark & \checkmark & $\times$ \\
        e) & \checkmark & \checkmark & \checkmark & $\times$ & $\times$ & \checkmark
    \end{tabular} \]
\end{loes}


\begin{loes}[zu \cref{aufg:schranken}] \quad
    \[ \begin{tabular}{rcccccccc}
        & n.o.b.  & n.u.b. & kl. El. & gr. El. & min. El. & max. El. & Inf. & Sup. \\
        \cmidrule(lr){2-9}
        a) & $\times$ & \checkmark & $4$ & $\times$ & $4$ & $\times$ & $4$ & $\times$ \\
        b) & \checkmark & \checkmark & $\times$ & $1$ & $\times$ & $1$ & $0$ & $1$ \\
        c) & \checkmark & \checkmark & $\times$ & $\N$ & alle Einermengen & $\N$ & $\emptyset$ & $\N$ \\
        d) & \checkmark & \checkmark & $\emptyset$ & $\times$ & $\emptyset$ & $\times$ & $\emptyset$ & $\N$ \\
        e) & \checkmark & \checkmark & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$
    \end{tabular} \]
\end{loes}


\begin{loes}[zu \cref{aufg:verknuepfungen}] \quad
    \[ \begin{tabular}{rcccccc}
        & assoziativ  & kommutativ & neutrales Element & Monoid & Gruppe \\
        \cmidrule(lr){2-6}
        a) & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark & $\times$ \\
        b) & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ \\
        c) & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
        d) & $\times$ & \checkmark & $\times$ & $\times$ & $\times$
    \end{tabular} \]
\end{loes}


\begin{loes}[zu \cref{aufg:hausdorff}]
    Wirf einmal einen Blick in das hervorragende Ana1-Lehrbuch \cite{AE06}. Dort wird die Aussage in Satz 2.17 bewiesen.
\end{loes}


\begin{loes}[zu \cref{aufg:folgen}] \quad
    \[ \begin{tabular}{rcccc}
        & n.o.b. &n.u.b. & monoton & monoton für hinreichend große $n$ \\
        \cmidrule(lr){2-5}
        a) & \checkmark & \checkmark & strikt fallend & strikt fallend \\
        b) & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ \\
        c) & $\times$ & \checkmark & $\times$ & strikt wachsend \\
        d) & $\times$ & \checkmark & $\times$ & $\times$
    \end{tabular} \]
\end{loes}