欧拉角与万向锁

[IWSR]

欧拉角与万向锁

说明

• 前置阅读：三维图形基本几何变换的矩阵推导
• 对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。（三个欧拉角变换可以描述当前物体的姿态）
• 俯仰（绕z轴旋转）、偏航（绕y轴旋转）、滚动（绕x轴旋转）了解下就行
• 由于线性变换不符合交换律，那么旋转顺序的不同便会影响结果，下文以动态欧拉角（z-y-x）分析

动态欧拉角

在 [三维图形基本几何变换的矩阵推导](#2) 中已经推导出了分别绕 X、Y、Z轴旋转的旋转矩阵即

$$ R_{z}γ = \begin{pmatrix} cosγ & -sinγ & 0 & 0 \\ sinγ & cosγ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ R_{y}β = \begin{pmatrix} cosβ & 0 & sinβ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sinβ & 0 & cosβ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ R_{x}α = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosα & -sinα & 0 \\ 0 & sinα & cosα & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

那么如果按动态欧拉角的变换顺序，我们将得到变换矩阵 $R=R_{x}αR_{y}βR_{z}γ$

$$ R= R_{x}αR_{y}βR_{z}γ = \begin{pmatrix} \cos β\cos γ & -\cos α\sin γ + \sin α\sin β\cos γ & \sin α \sin γ+ \cos α \sin β \cos γ & 0 \\ \cos β\sin γ & \cos α\cos γ + \sin α\sin β\sin γ & -\sin α \cos γ+ \cos α \sin β \sin γ & 0 \\ -\sin β & \sin α\cos β & \cos α\cos β & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

万向锁

一旦选择±90°作为pitch角，就会导致第一次旋转和第三次旋转等价，整个旋转表示系统被限制在只能绕竖直轴旋转，丢失了一个表示维度。

上面那段引言用人话说就是当 β 为 ±90°时，绕 x 旋转与绕 z 轴旋转在结果上会等效。

万向锁这个问题如果直接使用变换矩阵 R 来解释的话会很直观，就如下面我们把 β = 90° 代入方程并化简

$$ R = R_{x}αR_{y}90°R_{z}γ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosα & -sinα & 0 \\ 0 & sinα & cosα & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cosγ & -sinγ & 0 & 0 \\ sinγ & cosγ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ sin(α + γ) & cos(α + γ) & 0 & 0 \\ -cos(α + γ) & sin(α + γ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

很容易发现影响变换矩阵 R 的变量为 α + γ，而在几何上则体现为绕 x 轴的旋转表现与绕 z 轴等效，举例说明则是

$$ R_{x}30°R_{y}90°R_{z}50° = R_{x}0°R_{y}90°R_{z}80° $$

这里需要强调一下，本文中的旋转顺序为 z-y-x，上面的例子可描述为物体绕 z 轴旋转 80°、绕 y 轴旋转90°、绕 x 轴旋转0°其姿态与绕 z 轴旋转80°、绕 y 轴旋转90°、绕 x 轴旋转0°相同。也就是产生万向锁时，空间中物体可通过多种不同的旋转方式转变为某一个特定姿态，即变换与其结果并非一一对应，而这在工程上的体现便是动画插帧会变得极其诡异。