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problems/1015.smallest-integer-divisible-by-k.md

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 ## 思路
 
-这道题是说给定一个 K 值，能否找到一个形如 1，11，111，1111 。。。 这样的数字 n 使得 n % K == 0。
+这道题是说给定一个 K 值，能否找到一个形如 1，11，111，1111 。。。 的数字 n，使得 n % K == 0，并要求 n 尽可能地小。
 
-首先容易想到的是如果 K 是 2，4，5， 6，8 结尾的话，一定是不行的。直观的解法是从 1，11，111，1111 。。。 这样一直除下去，直到碰到可以整除的，我们返回即可。 但是如果这个数字根本就无法整除怎么办？没错，我们会无限循环下去。我们应该在什么时刻跳出循环，返回 - 1 （表示不能整除）呢？
+由于题目要找一个尽可能小的 n ，那么我们可以从小到大进行枚举，知道找到这样的一个 n 值即可。即从 1，11，111，1111 。。。 这样一直除下去，直到碰到可以整除的，我们返回即可。
 
-我们拿题目给出的不能整除的 2 来说。
+但是如果这个数字根本就无法整除怎么办？没错，我们会无限循环下去。我们应该在什么时刻跳出循环返回 - 1 （表示不能整除）呢？
+
+比如 k = 2 来说我们的算法过程如下：
 
 - 1 // 2 等于 1
 - 11 // 2 等于 1
 - 111 // 2 等于 1
 - ...
 
-我们再来一个不能整除的例子 6:
+如果 k = 6 算法过程如下：
 
 - 1 // 6 等于 1
 - 11 // 6 等于 5
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 通过观察我们发现不断整除的过程，会陷入无限循环，对于 2 来说，其循环节就是 1。对于 6 来说，其循环节来说就是 153。而且由于我们的分母是 6，也就是说余数的可能性一共只有六种情况 0,1,2,3,4,5。
 
-上面是感性的认识， 接下来我们从数学上予以证明。上面的算法用公式来表示就是`mod = (10 \* mod + 1) % K`。假如出现了相同的数，我们可以肯定之后会无限循环。比如 153 之后出现了 1，我们可以肯定之后一定是 35。。。 因为我们的 mod 只是和前一个 mod 有关，上面的公式是一个`纯函数`。
+上面是感性的认识， 接下来我们从数学上予以证明。
+
+上面的算法用公式来表示就是`mod = (10 * mod + 1) % K`，其中 mode 为 111xxx111 模 k 的值。假如出现了相同的数，我们可以肯定之后会无限循环。比如 153 之后出现了 1，我们可以肯定之后一定是 35。。。 这是因为我们的 mod 只是和前一个 mod 有关。换句话说就是上面的公式`mod = (10 * mod + 1) % K`是一个`纯函数`，相同的输入输出总是相同的。（也就是说 x mod k 后是 y，下次再碰到 x，继续 mod k 一定还是 y，然后无限循环下去）。
 
 ## 关键点解析