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 | [789. 逃脱阻碍者](https://leetcode-cn.com/problems/escape-the-ghosts/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/escape-the-ghosts/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-w69gr/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
 | [793. 阶乘函数后 K 个零](https://leetcode.cn/problems/preimage-size-of-factorial-zeroes-function/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/preimage-size-of-factorial-zeroes-function/solution/by-ac_oier-pk9g/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
+| [808. 分汤](https://leetcode.cn/problems/soup-servings/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/soup-servings/solution/by-ac_oier-3n1h/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
 | [810. 黑板异或游戏](https://leetcode-cn.com/problems/chalkboard-xor-game/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/chalkboard-xor-game/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-ges7k/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
 | [828. 统计子串中的唯一字符](https://leetcode.cn/problems/count-unique-characters-of-all-substrings-of-a-given-string/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/count-unique-characters-of-all-substrings-of-a-given-string/solution/by-ac_oier-922k/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
 | [829. 连续整数求和](https://leetcode.cn/problems/consecutive-numbers-sum/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/consecutive-numbers-sum/solution/by-ac_oier-220q/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |

Index/线性 DP.md

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 | [688. 骑士在棋盘上的概率](https://leetcode-cn.com/problems/knight-probability-in-chessboard/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/knight-probability-in-chessboard/solution/gong-shui-san-xie-jian-dan-qu-jian-dp-yu-st8l/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
 | [741. 摘樱桃](https://leetcode.cn/problems/cherry-pickup/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/cherry-pickup/solution/by-ac_oier-pz7i/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
 | [799. 香槟塔](https://leetcode.cn/problems/champagne-tower/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/champagne-tower/solution/by-ac_oier-c8jn/) | 中等 | 🤩🤩🤩 |
+| [808. 分汤](https://leetcode.cn/problems/soup-servings/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/soup-servings/solution/by-ac_oier-3n1h/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
 | [828. 统计子串中的唯一字符](https://leetcode.cn/problems/count-unique-characters-of-all-substrings-of-a-given-string/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/count-unique-characters-of-all-substrings-of-a-given-string/solution/by-ac_oier-922k/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
 | [978. 最长湍流子数组](https://leetcode-cn.com/problems/longest-turbulent-subarray/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/longest-turbulent-subarray/solution/xiang-jie-dong-tai-gui-hua-ru-he-cai-dp-3spgj/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
 | [1137. 第 N 个泰波那契数](https://leetcode-cn.com/problems/n-th-tribonacci-number/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/n-th-tribonacci-number/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-si-jie-die-dai-d-m1ie/) | 简单 | 🤩🤩🤩🤩 |

LeetCode/801-810/808. 分汤（中等）.md

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+### 题目描述
+
+这是 LeetCode 上的 **[808. 分汤](https://leetcode.cn/problems/soup-servings/solution/by-ac_oier-3n1h/)** ，难度为 **中等**。
+
+Tag : 「数学」、「动态规划」
+
+
+
+有 `A` 和 `B` 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 `n` 毫升。有四种分配操作：
+
+1. 提供 `100ml` 的 汤A 和 `0ml` 的 汤B 。
+2. 提供 `75ml` 的 汤A 和 `25ml` 的 汤B 。
+3. 提供 `50ml` 的 汤A 和 `50ml` 的 汤B 。
+4. 提供 `25ml` 的 汤A 和 `75ml` 的 汤B 。
+
+当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 `0.25` 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。
+
+注意 不存在先分配 `100 ml` 汤B 的操作。
+
+需要返回的值： 汤A 先分配完的概率 +  汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 $10^{-5}$ 的范围内将被认为是正确的。
+
+示例 1:
+```
+输入: n = 50
+
+输出: 0.62500
+
+解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。
+对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
+对于第四个操作，B 首先将变为空。
+所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。
+```
+示例 2:
+```
+输入: n = 100
+
+输出: 0.71875
+```
+
+提示:
+* $0 <= n <= 10^9$
+
+---
+
+### 数学 + 动态规划
+
+四种分配方式都是 $25$ 的倍数，因此我们可以将 $n$ 进行除以 $25$ 上取整的缩放操作，并将四类操作等价成：
+
+1. 提供 `4ml` 的 汤A 和 `0ml` 的 汤B 。
+2. 提供 `3ml` 的 汤A 和 `1ml` 的 汤B 。
+3. 提供 `2ml` 的 汤A 和 `2ml` 的 汤B 。
+4. 提供 `1ml` 的 汤A 和 `3ml` 的 汤B 。
+
+定义 $f[i][j]$ 为 汤A 剩余 $i$ 毫升，汤B 剩余 $j$ 毫升时的最终概率（$概率 = 汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 \times 0.5$）。
+
+最终答案为 $f[n][n]$ 为最终答案，考虑任意项存在为 $0$ 情况时的边界情况：
+
+* 若 $i = 0$ 且 $j = 0$，结果为 $0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，即有 $f[0][0] = 0.5$
+* 若 $i = 0$ 且 $j > 0$，结果为 $1 + 0 = 1$，即有 $f[0][X] = 1$，其中 $X > 1$
+* 若 $i > 0$ 且 $j = 0$，结果为 $0 + 0 = 0$，即有 $f[X][0] = 0$，其中 $X > 1$
+
+其余一般情况为 $i$ 和 $j$ 均不为 $0$，由于四类操作均为等概率，结合题意和状态定义可知：
+
+$$
+f[i][j] = \frac{1}{4} \times (f[i - 4][j] + f[i - 3][j - 1] + f[i - 2][j - 2] + f[i - 1][j - 3])
+$$
+
+由于 $n = 1e9$，即使进行了除 $25$ 的缩放操作，过多的状态数仍会导致 `TLE`。
+
+此时需要利用「返回值在正确答案 $10^{-5}$ 的范围内将被认为是正确的」来做优化（一下子不太好想到）：由于四类操作均是等概率，单个回合期望消耗汤 A 的量为 $2.5$，消耗汤 B 的量为 $1.5$。
+
+因此当 $n$ 足够大，操作回合足够多，汤 A 将有较大的概率结束分配，即当 $n$ 足够大，概率值会趋向于 $1$。
+
+我们考虑多大的 $n$ 能够配合精度误差 $10^{-5}$ 来减少计算量：一个可行的操作是利用上述的 DP 思路 + 二分的方式找到符合精度要求的验算值（不超过 $200$）。
+
+Java 代码：
+```Java
+class Solution {
+    public double soupServings(int n) {
+        n = Math.min(200, (int) Math.ceil(n / 25.0));
+        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
+        f[0][0] = 0.5;
+        for (int j = 1; j <= n; j++) f[0][j] = 1;
+        for (int i = 1; i <= n; i++) {
+            for (int j = 1; j <= n; j++) {
+                double a = f[Math.max(i - 4, 0)][j], b = f[Math.max(i - 3, 0)][Math.max(j - 1, 0)];
+                double c = f[Math.max(i - 2, 0)][Math.max(j - 2, 0)], d = f[Math.max(i - 1, 0)][Math.max(j - 3, 0)];
+                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d);
+            }
+        }
+        return f[n][n];
+    }
+}
+```
+Python 代码：
+```Python
+class Solution:
+    def soupServings(self, n: int) -> float:
+        n = min(200, math.ceil(n / 25))
+        f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]
+        f[0][0] = 0.5
+        for j in range(1, n + 10):
+            f[0][j] = 1
+        for i in range(1, n + 1):
+            for j in range(1, n + 1):
+                a, b = f[max(i - 4, 0)][j], f[max(i - 3, 0)][max(j - 1, 0)]
+                c, d = f[max(i - 2, 0)][max(j - 2, 0)], f[max(i - 1, 0)][max(j - 3, 0)]
+                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d)
+        return f[n][n]
+```
+* 时间复杂度：$O(m^2)$，其中 $m = 200$ 为验算值
+* 空间复杂度：$O(m^2)$
+
+---
+
+### 最后
+
+这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.808` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
+
+在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
+
+为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
+
+在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
+