2025-04-23a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-04-10-部分结论记录.md

@@ -28,7 +28,8 @@ tags: [数学,集合论,重要结论,笔记]
 2. 良序原理:(PDF 157页，书136页)<br>
 每个集合都可以排成良序集
 3. 每个集合都和基数等势(PDF 157页，书136页)
-4. (PDF 157页，书136页)$\forall X \forall Y(|X|\leq|Y|\vee |X|\geq|Y|)$
+4.  (PDF 157页，书136页)
+$\forall X \forall Y(|X|\leq|Y|\vee |X|\geq|Y|)$
 5. 佐恩引理:(PDF 158页，书137页)<br>
 任意给定一个偏序集合$(P,\leq)$, 如果它的每一条链都有一个$\leq$-上界， 那么，此偏序集必有一个$\leq$-极大元
 6. 如果$E$是非空集合$X$上的一个等价关系，那么商空间$X/E$上有一个选择函数(PDF 159页，书138页)
@@ -70,8 +71,12 @@ $$
 证明见[我的练习](../集合论习题/#不可达基数)<br><br>
 设$\kappa$是一个不可达基数
 
-1. 如果$|X|<\kappa$，那么$|\mathfrak P(X)|<\kappa$
-2. 如果$|S|<\kappa$，并且$\forall X\in S(|X|<\kappa)$，那么$|\bigcup S|<\kappa$
-3. 如果$|X|<\kappa$以及$f:X\to\kappa$，那么$sup(f[X])<\kappa$
-4. $|V_\kappa|=\kappa=\aleph_\kappa$
-5. 集合$\{\alpha<\kappa\mid\alpha=|V_\alpha|=\aleph_\alpha\}$是$\kappa$的一个无界闭子集
+1. 如果
+$|X|<\kappa$，那么$|\mathfrak P(X)|<\kappa$
+2. 如果
+$|S|<\kappa$，并且$\forall X\in S(|X|<\kappa)$，那么$|\bigcup S|<\kappa$
+3. 如果
+$|X|<\kappa$以及$f:X\to\kappa$，那么$sup(f[X])<\kappa$
+4. $$|V_\kappa|=\kappa=\aleph_\kappa$$
+5. 集合
+$\{\alpha<\kappa\mid\alpha=|V_\alpha|=\aleph_\alpha\}$是$\kappa$的一个无界闭子集

Chirpy/_posts/2025-04-14-集合论习题.md

@@ -61,7 +61,7 @@ $$
 ### 原始叙述
 (3) 若$\alpha$是一个序数，那么，$\mathbf{cf}(2^{\aleph_\alpha})>\aleph_\alpha$<br>
 > 为方便起见，下面使用$\alpha$直接代替$\aleph_\alpha$，即直接认为$\alpha$是基数
-> {: .prompt-warning }
+{: .prompt-warning }
 
 ### 我的证明
 首先，这个推论是从书中定理2.10(柯尼希引理)推出的，这个定理是说若两组基数$\kappa_i,\lambda_i(i\in I)$，若满足$\forall i\in I(\kappa_i<\lambda_i)$，则有
@@ -72,11 +72,11 @@ $$
 
 我们的证明思路是通过反证法，假设不等式不成立，然后基于此推出矛盾
 > 我起初的思路是将$\alpha$映射到$2^\alpha$上，然后证明其有界，但是并没有想出办法（主要是要用上定理2.10），感兴趣的读者可以自己去尝试一下
-> {: .prompt-tip }
+{: .prompt-tip }
 
 首先我们考虑左侧的$2^\alpha$的大小，我们有如下的等式成立
 > 形式推导：$2^\alpha=2^{\alpha\cdot\alpha}=(2^\alpha)^\alpha=\alpha^\alpha$，严谨证明可以通过双射证明，此处不证。
-> {: .prompt-warning }
+{: .prompt-warning }
 
 接下来我们考虑我们希望证明的不等式$\mathbf{cf}(2^\alpha)>\alpha$，假设不等式不成立，即$\mathbf{cf}(2^\alpha)=\alpha$，此时考虑到书中定理2.9基数为奇异基数的[充要条件](#基数为奇异基数的充要条件)(PDF 165页，书144页)，而$2^\alpha$不就是一个奇异基数嘛，于是我们便令$f$使得
 
@@ -125,7 +125,7 @@ $$
 根据正则性很容易证明
 ### 不可达基数(四)
 > 我觉得这个地方命题是错误的，因为取$\kappa=\omega$，命题显然错误，我认为应当限制$\kappa>\omega$这一条才成立，下面的证明也基于此假设
-> {: .prompt-warning }
+{: .prompt-warning }
 
 #### $|V_\kappa|=\kappa$
 首先我们考虑到$$V_\kappa=\bigcup{ \{ V_\alpha\mid\alpha<\kappa \} }$$，如果我们能够证明对于任何$\alpha<\kappa$都有$|V_\alpha|<\kappa$，那结论自然成立，因为
@@ -145,14 +145,14 @@ $$
 矛盾。因而，只能不存在这样的$\alpha$，故$\forall \alpha<\kappa(|V_\alpha|<\kappa)$，命题得证
 #### $\kappa=\aleph_\kappa$
 > 有的读者因为觉得$V_\alpha$比$\aleph_\alpha$增长快，就使用$V_\alpha\geq\aleph_\alpha$，通过夹逼证明这一半等式，我认为是不正确的，比如$V_\omega=\omega<\aleph_\omega$就说明不等式并不正确，即使在我前文的假设下，也应该是$V_\alpha$在某个序数上超过了$\aleph_\alpha$，但是具体是哪个序数，我们就不得而知了。
-> {: .prompt-warning }
+{: .prompt-warning }
 
-这个命题中，如果我们可以证明$\forall\alpha<\kappa(\aleph_\alpha<\kappa)$，[考虑到](../集合论笔记/#无穷基数序列)$\aleph_\kappa=\bigcup{ \{ \aleph_\alpha\mid\alpha<\kappa \} }$，那么自然就有$\kappa\geq\aleph_\kappa$，结合$\kappa\leq\aleph_\kappa$，结论自然成立，因而我们下面来证明$\forall\alpha<\kappa(\aleph_\alpha<\kappa)$。<br><br>
+这个命题中，如果我们可以证明$\forall\alpha<\kappa(\aleph_\alpha<\kappa)$，[考虑到](../集合论笔记/#无穷基数序列)$$\aleph_\kappa=\bigcup{ \{ \aleph_\alpha\mid\alpha<\kappa \} }$$，那么自然就有$\kappa\geq\aleph_\kappa$，结合$\kappa\leq\aleph_\kappa$，结论自然成立，因而我们下面来证明$\forall\alpha<\kappa(\aleph_\alpha<\kappa)$。<br><br>
 这部分我的证明思路依然是采用反证法，假设$\alpha$是最小的满足$\aleph_\alpha\geq\kappa$的序数。显然$\alpha$是极限序数，如果$\alpha$是后继序数，考虑到$\kappa$是极限基数很容易找出矛盾。<br><br>
 但是如果$\alpha$是极限序数，序列$\langle\aleph_\beta\mid\beta<\alpha\rangle$显然不能在$\kappa$中是无界的，那只能是有界的，假设$\gamma$是其的一个上界，那么$\forall\beta<\alpha(\aleph_\beta<\gamma)$，自然得到$\aleph_\alpha<\gamma<\kappa$，矛盾，因而$\forall\alpha<\kappa(\aleph_\alpha<\kappa)$
 ### 不可达基数(五)
 > 与(四)相同，如果取$\kappa=\omega$，命题显然错误，我认为也应当限制$\kappa>\omega$，下面的证明也基于此假设
-> {: .prompt-warning }
+{: .prompt-warning }
 
 #### 无界子集
 根据无界子集定义来证，假设$\gamma<\kappa$，我们来寻找一个比$\gamma$大的、满足条件的序数。<br><br>
@@ -162,7 +162,7 @@ $$
 \forall n\in\omega,\ \beta_{n+1}=|V_{\beta_n}|
 $$
 
-并取$\alpha=sup{ \{ \beta_n\mid n\in\omega \} }$，显然$\alpha$是一个极限序数，我们有如下关系
+并取$$\alpha=sup{ \{ \beta_n\mid n\in\omega \} }$$，显然$\alpha$是一个极限序数，我们有如下关系
 
 $$
 |V_\alpha|=|\bigcup{ \{ V_\beta\mid\beta<\alpha \} }|=|\bigcup{ \{ V_{\beta_n}\mid n\in\omega \} }|\leq\sum\limits_{n\in\omega}|V_{\beta_n}|=\omega\cdot\alpha=\alpha
@@ -183,4 +183,4 @@ $$
 
 同样$\aleph_\alpha\geq\alpha$得出$\aleph_\alpha=\alpha>\gamma$。<br><br>
 这样，对于任何的$\gamma$，我们都能找到这样一个$\alpha$满足条件，从而这个集合是一个无界子集。
-#### 闭子集
+#### 闭子集

Chirpy/_posts/2025-04-22-奇葩问题记录.md

@@ -0,0 +1,44 @@
+---
+title: 大开脑洞的数学问题
+author: me
+date: 2025-04-22 21:37:22 +0800
+description: 关于我或者XZN都整出了哪些奇葩问题
+categories: [数学]
+math: true
+tags: [数学,问题,思考]
+---
+## 通过任一点的可导函数
+
+这个问题是XZN提出的，提出原因不明(可能闲得慌😜)
+
+### 问题
+
+如果任意给定一组可列点列$A:i\in\mathbb N,(x_i,y_i)$，且$\forall i,j\in\mathbb N(i\neq j\Longleftrightarrow x_i\neq x_j)$，能否定义一个函数$f$，使得$f(x_i)=y_i$，且$f$在$\mathbb R$上无穷阶可导
+
+### 回答
+
+首先，这个原命题的回答是不一定，当给定点列$A$有多个聚点时不一定能定义，毕竟这时通过所有点的函数都不一定在$\mathbb R$上连续，比如如下点列
+
+$$
+(x_i,\sin{\frac{1}{x_i}}),x_i\in\mathbb Q\ \wedge\langle x_i\rangle点列以0为唯一聚点
+$$
+
+而针对仅有唯一聚点的情况，我们断言，**一定存在对应的函数**，不仅如此，甚至我们可以构造出可列个线性无关的这样的$f$，证明如下<br><br>
+首先假设$\forall i,j\in\mathbb N(i<j\Longleftrightarrow |x_i|>|x_j|)$记$\epsilon_i=\frac{|x_i|+|x_{i+1}|}{2}$，这样我们就将取到的点列$A$通过$\epsilon_i$进行了划分，接下来对于任意给定的$i\in\mathbb N$，我们对于$a<i$都只有有限个$x_a$，如果我们对于任意的$i$，都可以定义出这个区间上的任意阶可导的函数$f_i$，并且保证所有的$f_i$构成和谐函数系统(或者叫不冲突，即只要函数有定义就有$\forall x,f_i(x)=f_j(x)$)，集合论就保证存在$f=\bigcup{f_i}$，显然这个$f$就是我们要找的那个函数。<br><br>
+对于这样的点列，我们还可以做一种简化，将唯一的聚点移动到原点，这并不影响函数的存在性（如果聚点是无穷远点情况类似，读者可自己尝试证明）。然后很巧的是，我们又注意到若定义$f_i$为如下的函数，即可满足我们的条件：
+
+$$
+f_i(x)=\sum\limits_{a=0}^i \alpha_ie^{\frac{1}{-(\epsilon_i-x)^2}}
+$$
+
+若在函数中取合适的$\alpha_i$，使得函数通过$(x_i,y_i)$即可，并且可以验证这样的$f_i$在所有的$\epsilon_i$上也是无穷阶可导的，因而我们的命题得证。😏<br><br>
+好吧开个玩笑，这个函数当然不是随意构造出来的，下面我简述一下构造其的思路。回到聚点邻域外的有限个点，我们很容易就会尝试考虑多项式函数，毕竟这里只有有限个嘛(如果假设是$m$个)，一个$m-1$阶的多项式$P_m$就可以解决问题，然后如果再加上里面的下一个点，现在我们自然地想到在$(\epsilon_{m+1},\epsilon_m)$间在定义一个$m+1$次多项式$P_{m+1}$，接下来我们只需要保证这两个多项式函数在衔接点$\epsilon_m$出无穷阶可导即可<br><br>
+可是问题也正好在此，我们考虑这个多项式$P_{m+1}$，我们可以通过衔接点$\epsilon_m$处$P_m$的$m$阶导数提供的$m$个方程和点$(x_{m+1},y_{m+1})$提供的$1$个方程求出其各项系数，但是这会导致一个问题，如何保证$P_{m+1}$在$\epsilon_m$处的$m+1$阶导数为零呢，除了添加新的参数，我们没有办法保证这一点，但是如果添加一个参数，我们又怎么保证更高阶的导数呢，毕竟$\epsilon_m$处有无穷阶导数，它们都应该等于零嘛。显然我们不能仅仅通过多项式衔接两个区域，这迫使我们思考其他的函数。<br><br>
+其实我们遇到的问题仅仅是希望添加一个参数，使得我们的函数通过下一个点，但同时不要影响原来的导数值，那么如果存在一个函数$g$，满足$g^{(n)}(0)=0$，然后我们令$f_{m+1}(x)=f_m(x)+\alpha_{m+1} g(x-\epsilon_m)$，这样衔接点的各阶导数值都不改变，衔接很自然，然后我们再调整$\alpha_{m+1}$使得$f_{m+1}$通过点$(x_{m+1},y_{m+1})$即可。可能有的读者已经想到了，没错就是这个函数，它就是前面出现的：
+
+$$
+e^{\frac{1}{-(\epsilon_m-x)^2}}
+$$
+
+读者可以自行验证这个函数在$\epsilon_m$点处确实各阶导数为0，于是我们最后就可以定义函数$f_i$，从而定义出$f$。更进一步，既然我们定义的$f_i$都没有提高多项式阶数，那我们定义起点（先取有限个点定义它们上的可导函数）可以是任意阶的（甚至不是多项式）函数，而且不论怎样的定义起点，我们都可以归纳定义出一个全新的$f$来，而且这些$f$之间都是线性无关的<br><br>
+总结：若点列$A$仅有一个聚点，一定是可以定义出一个函数$f$，使得$f(x_i)=y_i$，且$f$在$\mathbb R$上无穷阶可导。