2025-05-12a

Author: passplease

Chirpy/_posts/2025-05-09-冯琦集合论第二章.md

@@ -4,18 +4,68 @@ author: me
 date: 2025-04-14 09:11:00 +0800
 description: 关于冯琦集合论第二章滤子、理想、对角线交等的笔记
 categories: [数学,集合论]
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 math: true
-tags: [数学,集合论,解决的疑问,笔记]
+tags: [数学,集合论,思考,解决的疑问,笔记]
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 最开始我看书[^book]第二章看到滤子、理想、对角线交等等东西时，应该和大多数读者一样觉得，这都什么乱七八糟的，有什么用吗？感觉更像是莫名其妙，理想倒是在环里学过，但是和这里定义的理想貌似不是一回事啊。去网上搜索、问AI都得不到好的结论（甚至可以说没有什么结论，没有增加我的半点了解）。不过当我忍着看了几十页之后，逐渐对这些莫名其妙的概念有了一些了解，遂在此予以记录。
 ## 对角线交、并
+### 定义
 首先是对角线交和对角线并，尤其是对角线交，可谓是后面内容的基础，正是基于它们，我们才能定义滤子和理想的可加性、完全性，包括许多证明也都用了类似的结构。<br><br>
 尽管它们定义地十分奇怪：<br>
-对角线交：（181页，书160页）
+**对角线交：（181页，书160页）**<br><br>
+设$\kappa$是一个不可数正则基数，设$\langle C_\alpha\mid\alpha <\kappa\rangle$是长度为$\kappa$的，在$\kappa$中无界的闭子集序列，这个序列的对角线交定义如下：
 
 $$
-\Delta_{\alpha<\kappa}
+\Delta_{\alpha<\kappa}C_\alpha=\{\gamma\in\kappa\mid\forall\alpha <\gamma(\gamma\in C_\alpha)\}
 $$
 
-[^book]: 冯琦集合论
+**对角线并：（184页，书163页）**<br><br>
+设$\kappa$是一个不可数正则基数，设$\langle X_\alpha\mid\alpha <\kappa\rangle$是长度为$\kappa$的非荟萃子集序列，这个序列的对角线并定义如下：
+
+$$
+\nabla_{\alpha<\kappa}X_\alpha=\{\gamma\in\kappa\mid\exists\alpha<\gamma(\gamma\in X_\alpha)\}
+$$
+
+这两个定义看起来莫名其妙，而且为什么这样定义也不知道，首先我们需要知道为什么不能之间求交，然后我们再来理解为什么这样定义。
+### 求交？
+根据完全性[^wanquanxing]，我们很容易想到能不能直接对$C_\alpha$求交来得到一个无界闭子集$C$，可惜书中也证明了，这是不可以的，因为交出来的$C$甚至有可能是空集，究其原因是无界闭子集$C_\alpha$只关心“无界”，对于起始的项不怎么关心，而在一步步求交的过程中，首项一个个地被“吃掉”消失，比如递归定义如下序列：
+
+$$
+C_0=\kappa,C_{\alpha}=\kappa-\alpha
+$$
+
+我们逐步地“蚕食”$C_\alpha$的首项，如果你对它们求交，求$\gamma<\kappa$次后还有很多序数留下，从而还是无界闭子集[^wanquanxing]，可是一旦求交次数达到$\kappa$，那事情就不一样了，每一个$\gamma<\kappa$都不会在交集中，你交出来只会得到$\varnothing$，这正是求交“顾尾不顾头”的特殊性质导致的。
+
+### 初步理解
+书中有过解释，因为我们简单地取所有$C_\alpha$的交集并不能保证交集仍然是无界子集，但是我们又需要一个运算，使用所有$C_\alpha$，然后得到一个$C$是无界闭子集。而求交又不能保证无界，所以我们首要目标是知道怎么构造一个无界序列，然后由此拓展为我们需要的集合$C$。回顾求交的过程，我们发现求交其实是要他们共同的部分嘛，如果是无穷交，那我们还不是得一步步地从第一项开始求交，然后一步一步地推广到后面去。**但是这样为什么会变成有界子集呢？** 很明显，肯定是我们丢掉的元素太多了，自然我们得想办法放宽要求。回顾我们证明无界闭子集的有限交仍然是无界闭子集的过程，我们会注意到这样一个结构：
+
+$$
+\alpha_{2m+2}=\min(C_0-(\alpha_{2m+1}+1))
+$$
+
+和
+
+$$
+\alpha_{2m+3}=\min(C_1-(\alpha_{2m+2}+1))
+$$
+
+让我们仔细认识一下这个结构，这个结构出现在$C_0\cap C_1$无界的证明中，它是交替在$C_0,C_1$当中取$\alpha_{2m}\in C_0$和$\alpha_{2m+1}\in C_1$。由于$C_0,C_1$都是无界的，这样套娃取是无穷无尽的，最后取$\bigcup$，我们就能够得到属于$C_0\cap C_1$的比任何序数大的一个（极限）序数。<br><br>
+为什么我要提这个呢？让我们来仔细想一想🤔，如果现在要让你证明$C_0\cap C_1\cap C_2$也无界呢？那是不是在$C_0,C_1,C_2$之间交替地取元素啊，最后再将他们全部并起来，对吧？如果是四个、五个甚至更多的$C_i$求交，那都是一样的吧。进一步地，如果是无穷多个，我们仍然按照这个思路，先取一个$\gamma_0$在$C_0$，再一个$\gamma_1$在$C_1$ · · · 任意$\gamma_\alpha$在$C_\alpha$，而且一个比一个大，最后将这些$\gamma_\alpha$全部并起来，应该是在我最后应该得到的无界闭子集$C$中的某个序数吧。<br><br>
+细心的读者可能已经注意到了，这些$\gamma_\alpha$不一定有$\forall \beta<\alpha (\gamma_\alpha\in C_\beta)$，因为$\gamma_\alpha$属于$C_\alpha$，但是大于$\gamma_\beta$，所以是否属于$C_\beta$是未知的。可是回顾我们求交的过程，一步步求交下来，得到的集合好歹也得在前面已经交完了的集合里啊，总不能求交，求着求着冒出来一个没见过的元素吧，不过好在我们很容易就可以修改。
+### 改进
+所以前面的求法还有待改进，为了避免这样尴尬的情况出现，我们改进要求
+
+$$
+\gamma_\alpha\in D_\alpha,D_\alpha=\bigcap\limits_{\beta<\alpha}C_\beta
+$$
+
+为什么这么要求呢？首先，书[^book]中对角线交定义的上一页先证明了$\kappa$-完全性[^wanquanxing]，也就是说每个$D_\alpha$都是一个无界闭子集。而且这样定义之后我们便保证每一个$\gamma_\alpha$也在任何的$C_\beta$中了。<br><br>
+至此我们便找到了一种求得在我们的目标集合$C$中的一个无界序列的方法，接下来我们就可以尝试将它们拓展到集合里了。
+### 总结
+找到序列之后剩下的事情就好办了，为了保证所有的$\gamma_\alpha$都在$C$中，我们就尽可能将$D_\alpha$都包含进来嘛，但是也不能完全包含了，不然那求出来不就是$C_0$了吗。结合求交“顾尾不顾头”的性质，我们就对头放宽要求嘛，这样就不会导致求着求着被“蚕食”了，也就是说对于前面的序数，我们只要求它在某几个$C_\alpha$中就好了，那很明显，我们就这样要求：$\gamma\in D_\gamma$，对于大的序数，我们就要求它在更多的$C_\alpha$中，对于小的序数，要求就小得多。<br><br>
+但是这个定义很眼熟呢？请读者仔细看看，这不就是对角线交的[定义](#定义)吗，完全一样啊。这说明对角线交就是一种合理的交的推广。此外这看起来也确实像对角线，就好像上（下）三角矩阵一样，因而称作对角线我觉得也比较得合理。<br><br>
+而并作为交的对立面，对角线并将无界闭子集改成非荟萃子集，任意改成存在也是十分合理的。毕竟并的问题在于对“头”的要求太低了，以至于很有可能并到最后全并进去了，所以加强对“头”的要求很重要；此外并是要扩大集合，不能还$\forall$吧，自然得改成$\exists$，一切都是如此得自然。<br><br>
+注：书[^book]中还有主对角线交（201页，书180页）也是类似的推广，我认为性质上是差不多的。
+
+[^book]: 冯琦集合论
+[^wanquanxing]: 设$\kappa$是一个不可数正则基数，设$\langle C_\alpha\mid\alpha <\gamma\rangle$是长度为$\gamma$的，在$\kappa$中无界的闭子集序列，那么$$C=\bigcap\limits_{\alpha<\gamma}C_\alpha$$也是一个无界闭子集。（180页，书159页）

Chirpy/_posts/草稿本.md

@@ -8,8 +8,6 @@ published: false
 tags: [数学,集合论,疑问,笔记]
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 ## 不懂的定义
-1. 对角线交，181（书160）页
-2. 滤子、理想，175（154）页
-3. 典型无界闭子集序列，183（162）页（主要是比$\kappa$大的定义）
-4. 对角线并，184（163）页（其完全与对角线交对应，可看作同一个问题）
-5. 滤子和理想的正规性：书定义2.22（185/164页）中的定义和考前页数的定义无关甚至完全不同（我认为主要是对角线交、对角线并于对应滤子、理想的关系我不清楚，它们之间应当是有关系的
+1. 滤子、理想，175（154）页
+2. 典型无界闭子集序列，183（162）页（主要是比$\kappa$大的定义）
+3. 滤子和理想的正规性：书定义2.22（185/164页）中的定义和靠前页数的定义无关甚至完全不同（我认为主要是对角线交、对角线并于对应滤子、理想的关系我不清楚，它们之间应当是有关系的