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54 | 54 | 对于一个同质嵌入映射$j: \mathrm{V} \prec M$而言,定义它的临界点(或者关键点)为满足不等式$\alpha < j(\alpha)$的最小序数,并将其记成$\operatorname {Crit}(j)$<br><br> |
55 | 55 | 引理1.6证明，对于非平凡的同质嵌入映射，临界点都是可测基数。但是尽管如此，$M$却不一定是这个可测基数诱导出来的超幂，它可能会比超幂大，因为超幂是最小的那个，超幂也能同质嵌入到$M$中去。此外，库能定理表明，如果选择公理成立，那$M\subsetneq V$，也就是$M$一定比$V$小。 |
56 | 56 | ## 符号 |
57 | | -### $\operatorname{ult}$ |
| 57 | +### $\operatorname{ult}$(超幂) |
58 | 58 | #### 定义 |
59 | 59 | 设$\kappa$是一个可测基数，$\mathcal{V}$为$\kappa$上的一个非平凡的$\kappa-$完全的超滤子。设$M$为一个非空传递集合。对于$f, g \in M^{\kappa}$，定义 |
60 | 60 |
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95 | 95 | $$ |
96 | 96 |
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97 | 97 | 令$\operatorname {ult}(\mathrm{V},\mathcal{V}) = (V^{\kappa} / \mathcal{V},\in^{*})$,并且称$\operatorname{ult}(\mathrm{V},\mathcal{V})$为$(\mathrm{V},\in)$在超滤子$\mathcal{V}$上的超幂。同样的,存在一个传递类$M$与$\operatorname{ult}(\mathrm{V},\mathcal{V})$同构,要注意的是，如果等价类不是集合,$M$就不一定是真类了,其包含的还是类,这种对象不是集合论处理的合法的对象了。 |
| 98 | +#### 扩展定义 |
| 99 | +见47页(书27页)<br><br> |
| 100 | +对于模型$M$，如果有一个$M$上某个无穷基数$\kappa$上的超滤子$D$（注意，$D$不一定属于$M$，但是$\forall x\in D(x\in (\mathfrak P(\kappa))^M)$），利用同样的方法可以定义$M$上的超幂$\operatorname{ult}(M,D)$，各种性质也类似成立，只要满足：$\in^*$是无歧义的，也就是有秩的，没有无穷降链。<br><br> |
| 101 | +一般来说，只要$D\notin M$是会出现无穷降链的，因为$D$的完全性等性质管不到不属于$M$的集合，所以你能找得到一组$X_i\in D\wedge X_i\notin M$，此时，$D$任何$M$里判断的性质都不起作用了，很容易凑出无穷降链。不过，好在满足下面两条之一就肯定不会出现这个问题 |
| 102 | +1. $D\in M$ |
| 103 | +2. 如果$D$是一个[同质嵌入映射](#同质嵌入映射) $j: M\prec N$诱导出来的(注意，$j$不一定属于$M$，只需要在最外层存在就可以了)，也就是$D=\{X\subset\kappa\mid X\in M\wedge\kappa\in j(X)\}$ |
98 | 104 | #### 性质 |
99 | 105 | 首先，记$N\cong\operatorname{ult}(V,\mathcal V)$，同构映射是$\pi$，$\forall x\in V(c_x=\{\alpha<\kappa\mid(\alpha,x)\})$，$\forall x\in V( j(x)=\pi([c_x]) )$，$\forall\alpha<\kappa,\operatorname{Id}(\alpha)=\alpha$，那么 |
100 | 106 | - $\forall\alpha<\kappa,j(\alpha)=\alpha$且$j(\kappa)>\kappa=j(\operatorname{Id})$<br> |
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104 | 110 | \alpha\to c_\alpha\to g_F(c_\alpha)=F(\alpha) |
105 | 111 | $$ |
106 | 112 |
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107 | | - 同时把$\kappa$的定义补上并且把全部打包叫函数$g$，我们就可以得到$j(F)=[g]$，从而轻松证明$j(F)(\kappa)$相关的结论 |
108 | | -- $2^\kappa\leq(2^\kappa)^N\leq j(\kappa)\leq(2^\kappa)^+$ |
| 113 | + 同时把$\kappa$的定义补上并且把全部打包叫函数$g$，我们就可以得到$j(F)=[g]$，从而轻松证明$j(F)(\kappa)$相关的结论（注：前面的说法不完全正确，其实还是要用超幂基本定理的） |
| 114 | +- $2^\kappa\leq(2^\kappa)^N\leq j(\kappa)\leq(2^\kappa)^+$ |
| 115 | +- 超幂基本定理: |
| 116 | + 若$\varphi$是一个彰显自由变元的表达式，$[f_1],[f_2],\cdots\in\operatorname{ult}(V,\mathcal V)$，那么 |
| 117 | + |
| 118 | + $$ |
| 119 | + \operatorname{ult}(V,\mathcal V)\vDash\varphi[[f_1],[f_2],\cdots,[f_n]]\Longleftrightarrow\{\alpha<\kappa\mid V\vDash\varphi[f_1(\alpha),f_2(\alpha),\cdots,f_n(\alpha)]\}\in\mathcal V |
| 120 | + $$ |
| 121 | + |
| 122 | +- 如果$j$是由$\mathcal V$诱导出来的，而又有一个$k: V\prec M$也是一个同质嵌入映射，那么$N\subseteq M$，且存在一个唯一的同质嵌入映射$j_k: N\prec M$满足$k=j_k\circ j$ |
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