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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[464. 我能赢吗](https://leetcode.cn/problems/can-i-win/solution/by-ac_oier-0ed9/)** ，难度为 **中等**。 |
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| 5 | +Tag : 「博弈论 DP」、「记忆化搜索」、「状态压缩」 |
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| 8 | + |
| 9 | +在 "100 game" 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 $1$ 到 $10$ 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和 达到或超过 $100$ 的玩家，即为胜者。 |
| 10 | + |
| 11 | +如果我们将游戏规则改为 “玩家 不能 重复使用整数” 呢？ |
| 12 | + |
| 13 | +例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 $1$ 到 $15$ 的整数（不放回），直到累计整数和 >= $100$。 |
| 14 | + |
| 15 | +给定两个整数 `maxChoosableInteger` （整数池中可选择的最大数）和 `desiredTotal`（累计和），若先出手的玩家是否能稳赢则返回 `true` ，否则返回 `false` 。假设两位玩家游戏时都表现 最佳 。 |
| 16 | + |
| 17 | +示例 1： |
| 18 | +``` |
| 19 | +输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 11 |
| 20 | +
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| 21 | +输出：false |
| 22 | +
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| 23 | +解释： |
| 24 | +无论第一个玩家选择哪个整数，他都会失败。 |
| 25 | +第一个玩家可以选择从 1 到 10 的整数。 |
| 26 | +如果第一个玩家选择 1，那么第二个玩家只能选择从 2 到 10 的整数。 |
| 27 | +第二个玩家可以通过选择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利. |
| 28 | +同样地，第一个玩家选择任意其他整数，第二个玩家都会赢。 |
| 29 | +``` |
| 30 | +示例 2: |
| 31 | +``` |
| 32 | +输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 0 |
| 33 | +
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| 34 | +输出：true |
| 35 | +``` |
| 36 | +示例 3: |
| 37 | +``` |
| 38 | +输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 1 |
| 39 | +
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| 40 | +输出：true |
| 41 | +``` |
| 42 | + |
| 43 | +提示: |
| 44 | +* $1 <= maxChoosableInteger <= 20$ |
| 45 | +* $0 <= desiredTotal <= 300$ |
| 46 | + |
| 47 | +--- |
| 48 | + |
| 49 | +### 二维博弈论 DP（TLE） |
| 50 | + |
| 51 | +这是一道博弈论 DP 的题，为了方便，我们使用 $n$ 来表示 $maxChoosableInteger$，使用 $t$ 来表示 $desiredTotal$。 |
| 52 | + |
| 53 | +由于 $n$ 数据范围为 $20$，且每个数只能选一次，我们可以使用一个二进制数 $state$ 来表示 $[1, n]$ 范围内的被选择的数的情况：二进制表示中 $1$ 的位置代表数已被选择，否则代表尚未选择。 |
| 54 | + |
| 55 | +首先朴素二维状态表示相对容易想到：**定义 $f[statue][k]$ 为当前已被选择的数为 $state$，轮数为 $k$ 时，「原始回合的先手」能否获胜（$1$ 代表能，$-1$ 代表不能），其中 $k$ 从 $0$ 开始，通过 $k$ 的奇偶性可知是原始回合的先手还是后手。** |
| 56 | + |
| 57 | +设计递归函数来实现「记忆化搜索」，函数 `int dfs(int state, int tot, int k)` 表示当前状态为 $state$，$tot$ 对应累计和，$k$ 代表轮数，最终答案通过判断 `dfs(0, 0, 0)` 是否为 $1$ 来得知。 |
| 58 | + |
| 59 | +**转移过程中，如果发现当前回合的决策，能够直接使得累积和超过 $t$，说明当前回合玩家获胜；或者如果当前决策能够导致下一回合的玩家失败的话，当前回合玩家也获胜，否则当前玩家失败。** |
| 60 | + |
| 61 | +代码： |
| 62 | +```Java |
| 63 | +class Solution { |
| 64 | + int n, t; |
| 65 | + int[][] f = new int[1 << 20][2]; |
| 66 | + // 1 true / -1 false |
| 67 | + int dfs(int state, int tot, int k) { |
| 68 | + if (state == ((1 << n) - 1) && tot < t) return -1; |
| 69 | + if (f[state][k % 2] != 0) return f[state][k % 2]; |
| 70 | + int hope = k % 2 == 0 ? 1 : -1; |
| 71 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 72 | + if (((state >> i) & 1) == 1) continue; |
| 73 | + if (tot + i + 1 >= t) return f[state][k % 2] = hope; |
| 74 | + if (dfs(state | (1 << i), tot + i + 1, k + 1) == hope) return f[state][k % 2] = hope; |
| 75 | + } |
| 76 | + return f[state][k % 2] = -hope; |
| 77 | + } |
| 78 | + public boolean canIWin(int _n, int _t) { |
| 79 | + n = _n; t = _t; |
| 80 | + if (t == 0) return true; |
| 81 | + return dfs(0, 0, 0) == 1; |
| 82 | + } |
| 83 | +} |
| 84 | +``` |
| 85 | +* 时间复杂度：共有 $2^{n} \times 2$ 个状态，每个状态转移需要 $O(n)$ 复杂度，整体复杂度为 $O(2^{n + 1} \times n)$ |
| 86 | +* 空间复杂度：$O(2^{n + 1})$ |
| 87 | + |
| 88 | +--- |
| 89 | + |
| 90 | +### 优化状态表示 |
| 91 | + |
| 92 | +进一步发现，若能优化轮数维度，可以有效减少一半的计算量，我们调整状态定义为：**定义 $f[state]$ 为当前状态为 $state$，「当前先手」能否获胜（$1$ 代表能，$-1$ 代表不能）。** |
| 93 | + |
| 94 | +同时调整递归函数为 $int dfs(int state, int tot)$，最终答案通过判断 `dfs(0, 0)` 是否为 $1$ 来得知。 |
| 95 | + |
| 96 | +注意这里调整的重点在于：将记录「原始回合的先后手发起 和 原始回合的先后手获胜情况」调整为「当前回合发起 和 当前回合获胜情况」。 |
| 97 | + |
| 98 | +代码： |
| 99 | +```Java |
| 100 | +class Solution { |
| 101 | + int n, t; |
| 102 | + int[] f = new int[1 << 20]; |
| 103 | + // 1 true / -1 false |
| 104 | + int dfs(int state, int tot) { |
| 105 | + if (f[state] != 0) return f[state]; |
| 106 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 107 | + if (((state >> i) & 1) == 1) continue; |
| 108 | + if (tot + i + 1 >= t) return f[state] = 1; |
| 109 | + if (dfs(state | (1 << i), tot + i + 1) == -1) return f[state] = 1; |
| 110 | + } |
| 111 | + return f[state] = -1; |
| 112 | + } |
| 113 | + public boolean canIWin(int _n, int _t) { |
| 114 | + n = _n; t = _t; |
| 115 | + if (n * (n + 1) / 2 < t) return false; |
| 116 | + if (t == 0) return true; |
| 117 | + return dfs(0, 0) == 1; |
| 118 | + } |
| 119 | +} |
| 120 | +``` |
| 121 | +* 时间复杂度：共有 $2^{n}$ 个状态，每个状态转移需要 $O(n)$ 复杂度，整体复杂度为 $O(2^{n} \times n)$ |
| 122 | +* 空间复杂度：$O(2^{n})$ |
| 123 | + |
| 124 | +--- |
| 125 | + |
| 126 | +### 最后 |
| 127 | + |
| 128 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.464` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 129 | + |
| 130 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 131 | + |
| 132 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 133 | + |
| 134 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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