feat: upload

source/_posts/about.md

@@ -13,6 +13,11 @@ date: 2020-05-04 19:07:23
 
 <!-- more -->
 
+## 目录汇总
+
+- {% post_link drafts 随笔 %}
+- {% post_link academic-waste 学术垃圾 %}
+
 ## 本博客采用的部分非通用记号/名称等
 
 | 记号                      | 含义                                      | 例子                         |

source/_posts/academic-waste.md

@@ -29,6 +29,5 @@ date: 2023-04-01 09:06:31
 - {% post_link setth-04 %}
 - {% post_link symmetric-bilinear-metric-space-and-system-of-linear-equations %}
 - {% post_link thpoker %}
-- {% post_link zkw-segment-tree-test1 %}
-- {% post_link zkw-segment-tree-test2 %}
+- {% post_link zkw-segment-tree-test %}
 - {% post_link zkw-segment-tree %}

source/_posts/draft-020.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+---
+title: "随笔 - Miller-Rabin + Pollard-Rho 分解质因子的时间复杂度分析"
+date: 2024-11-29 20:43:13
+categories:
+  - 随笔
+  - 算法竞赛
+tags:
+  - 随笔
+  - 算法竞赛
+  - 数学
+  - 数论
+  - Miller-Rabin算法
+  - Pollard-Rho算法
+  - 素数/质数
+  - 素性检验
+  - Ramanujan和
+  - 凹函数
+  - Jensen不等式
+---
+
+省流版: $O\left(n^{1/4}\right)$
+
+<!-- more -->
+
+我们考虑这样的代码
+
+{% icodeweb blog lang:python draft-020/pfactors.cpp %}
+
+其中
+
+- `is_prime_miller_rabin` 为基于 Miller-Rabin 算法的质数判断, 时间复杂度为 $O\left(n^{1/4}\right)$
+- `pollard_rho` 为 Pollard-Rho 算法, 返回入参的一个非平凡因子, 期望时间复杂度为 $O\left(p^{1/2}\right)$, 其中 $p$ 为 $n$ 的最小质因子, 不难发现 Pollard-Rho 算法的期望时间复杂度为 $O\left(n^{1/4}\right)$
+- 回调函数 `callback` 的时间复杂度为 $O(1)$
+
+我们尝试计算 `pfactors` 的时间复杂度, 设其为 $O(T(n))$, 则有
+
+$$
+O(T(n)) = \begin{cases}
+  O\left(n^{1/4}\right),&n<2\lor n\in\mathbb{P},\\
+  O\left(n^{1/4}+T(d)+T(n/d)\right),&\text{otherwise},
+\end{cases}
+$$
+
+其中 $d$ 为 $n$ 的某个非平凡因子, $T(d)$ 没法直接处理, 我们用均值代替:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  T(d)+T(n/d)&\xlongequal{\exists C>0}C\dfrac{\sum_{1<d<n;d\mid n}(T(d)+T(n/d))}{\sum_{1<d<n;d\mid n}1}\\
+  &=2C\dfrac{\sum_{1<d<n;d\mid n}T(d)}{\sum_{1<d<n;d\mid n}1}
+\end{aligned}
+$$
+
+所以
+
+$$
+O(T(n)) = \begin{cases}
+  O\left(n^{1/4}\right),&n<2\lor n\in\mathbb{P},\\
+  O\left(n^{1/4}+\dfrac{\sum_{1<d<n;d\mid n}T(d)}{\sum_{1<d<n;d\mid n}1}\right),&\text{otherwise},
+\end{cases}
+$$
+
+我们希望证明 $O(T(n))=O\left(n^{1/4}\right)$, 不难发现若
+
+$$
+O\left(\dfrac{\sum_{d\mid n}d^{1/4}}{\sum_{d\mid n}1}\right)=O\left(\dfrac{\sigma_{1/4}(n)}{\sigma_{0}(n)}\right)=O\left(n^{1/4}\right)\tag{1}
+$$
+
+成立, 则可以通过数学归纳法证明
+
+我们知道, 当 $k>0$ 时
+
+$$
+\sigma_k(n)=\zeta(k+1)n^k\sum_{m=1}^{\infty}\frac{c_m(n)}{m^{k+1}}\tag{2}
+$$
+
+其中 $c_q(n)=\displaystyle\sum_{1\leq a\leq q;(a,q)=1}\mathrm{e}^{(2\pi\mathrm{i}an)/q}$ 为 [Ramanujan 和](https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_sum), 所以这个看起来是有搞头的, 不过 $(2)$ 式涉及到级数, 看起来就不好用, 所以我们不会用 $(2)$ 式去证 $(1)$ 式, 而是一个更简单的做法
+
+注意到 $f(x)=x^{1/4}$ 是凹函数, 所以我们考虑 Jensen 不等式
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \dfrac{\sum_{d\mid n}d^{1/4}}{\sum_{d\mid n}1}&\leq\left(\dfrac{\sum_{d\mid n}d}{\sum_{d\mid n}1}\right)^{1/4}\\
+  &=\left(\dfrac{\sigma_1(n)}{\sigma_0(n)}\right)^{1/4}\\
+  &=O\left(\left(\dfrac{n\log\log n}{\log n}\right)^{1/4}\right)\\
+  &\xlongequal{\exists\epsilon>0} O\left(n^{1/4-\epsilon}\right)
+\end{aligned}
+$$
+
+综上所述, `pfactors` 的时间复杂度为 $O\left(n^{1/4}\right)$

source/_posts/drafts.md

@@ -34,3 +34,4 @@ date: 2020-05-20 11:06:32
 - {% post_link draft-017 %}
 - {% post_link draft-018 %}
 - {% post_link draft-019 %}
+- {% post_link draft-020 %}

source/_posts/rbtree.md

@@ -0,0 +1,68 @@
+---
+title: 模板 - 红黑树
+categories:
+  - 笔记
+tags:
+  - 数学
+  - 模板
+  - 数据结构
+  - 平衡树
+  - 顺序统计树
+  - 二叉搜索树
+  - 红黑树
+date: 2024-11-27 09:23:57
+---
+
+红黑树是一种平衡树, 是 C++ `std::(multi)?(set|map)`, Java `Tree(Set|Map)` 的底层实现
+
+代码参考了 `pb_ds` 的设计方式, 时空均略优于 `pb_ds`
+
+{% note info %}
+这里的代码实际上是 order-statistic tree, 即每个结点都记录了对应子树的大小, 因此支持查找排名以及根据排名反查数据
+{% endnote %}
+
+{% note warning %}
+仅在 GCC 下测试过
+{% endnote %}
+
+{% note warning %}
+<https://cplib.tifa-233.com/src/code/ds/rbtree.hpp> 存放了笔者对该算法/数据结构的最新实现, 建议前往此处查看相关代码
+{% endnote %}
+
+<!-- more -->
+
+## 设计与使用
+
+参考了 `pb_ds` 的设计方式, 使用了 Mixin Classes, `balance_tree<K, bst_tag>` 即为二叉搜索树, `balance_tree<K, rbt_tag>` 即为红黑树
+
+具体来说, 代码中把一般的平衡树/顺序统计树操作 (遍历, `(lower|upper)_bound`, `order_of_key`, `find_by_order` 等) 和红黑树的操作 (旋转, 插入和删除的性质维护等) 解耦. 又由于红黑树的插入/删除可以视为先按二叉搜索树的方式插入/删除, 再进行平衡维护操作, 故代码中也将这两部分解耦, 并让 `rbt_tag` 继承 `bst_tag` 来提高代码复用率
+
+使用方式类似 `pb_ds` 的 `__gnu_pbds::tree`, 只是没有将维护子树大小的部分解耦出来
+
+## 代码
+
+<details open>
+<summary><font color='orange'>Show code</font></summary>
+
+{% icodeweb blog lang:cpp rbtree/rbtree.hpp %}
+
+</details>
+
+## 示例
+
+洛谷 P6136 [【模板】普通平衡树（数据加强版）](https://www.luogu.com.cn/problem/P6136)
+
+<details open>
+<summary><font color='orange'>Show code</font></summary>
+
+{% icodeweb cpa_cpp title:Luogu_P6136 Luogu/P6136/3.cpp %}
+
+</details>
+
+---
+
+## 参考
+
+- <https://gcc.gnu.org/onlinedocs/libstdc++/ext/pb_ds/tree_based_containers.html>
+- Introduction to Algorithms, Fourth Edition
+- <https://en.wikipedia.org/wiki/Red%E2%80%93black_tree>

source/_posts/zkw-segment-tree-test2.md → source/_posts/zkw-segment-tree-test.md

@@ -40,7 +40,7 @@ comments: false
    <details open>
    <summary><font color='orange'>Show code</font></summary>
 
-   {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree-test2/seg-r.cpp %}
+   {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree-test/seg-r.cpp %}
 
    </details>
 
@@ -49,7 +49,7 @@ comments: false
    <details open>
    <summary><font color='orange'>Show code</font></summary>
 
-   {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree-test2/seg-zkw.cpp %}
+   {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree-test/seg-zkw.cpp %}
 
    </details>
 
@@ -58,7 +58,7 @@ comments: false
    <details open>
    <summary><font color='orange'>Show code</font></summary>
 
-   {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree-test2/bit.cpp %}
+   {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree-test/bit.cpp %}
 
    </details>
 
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    <details open>
    <summary><font color='orange'>Show code</font></summary>
 
-   {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree-test2/data_gen.cpp %}
+   {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree-test/data_gen.cpp %}
 
    </details>