Add a few graphs

graphs/template.pgs

@@ -86,6 +86,10 @@
 \tikzset{locuszero/.style={draw=red!30!black,circle,inner sep=2pt,fill=white,fill opacity=.6,thick,label={[below]-90:#1}}}
 \tikzset{locusbreak/.style={rounded corners=1.5pt,inner sep=2pt,draw,top color=brown,bottom color=black,fill opacity=.8,label={[below]-90:#1}}}
 
+\def\vlowsamples{8}
+\def\lowsamples{18}
+\def\hisamples{200}
+
 \begin{document}
 <>
 \end{document}

preamble.tex

@@ -288,6 +288,7 @@
 	\par\nointerlineskip \vspace{.5\baselineskip}
 }
 
+\def\vlowsamples{4}
 \def\lowsamples{18}
 \def\hisamples{40}
 \def\timecolour{blue!50!cyan}

sae2.tex

@@ -1049,18 +1049,20 @@ \subsubsection{Μελέτη Ευστάθειας Συστήματος}
 \todo{Notes}
 \lecture{4}{7/3/2018}
 
-\textellipsis
-
 \section{Δυναμικά συστήματα}
+Με τον όρο \textit{δυναμικά συστήματα} εννοούμε τα συστήματα των οποίων η συμπεριφορά αλλάζει με το χρόνο, δηλαδή όλα τα συστήματα
+τα οποία μελετάμε.
+
 Αφού ολοκληρωθεί η διαδικασία της μοντελοποίησης, οδηγούμαστε σε ένα σύστημα της μορφής:
 \begin{align*}
 	x' &= f(x,u) \\
 	y &= h(x,u)
 \end{align*}
 όπου στόχος μας είναι να έχουμε κατάλληλη είσοδο \( u \) ώστε να
-πετύχουμε έξοδο \( y \).
+πετύχουμε έξοδο \( y \), όπου \( x \) είναι οι μεταβλητές κατάστασης.
 
-Αρχικά, επιλέγουμε η είσοδος να είναι:
+Αρχικά, επιλέγουμε η είσοδος να \textbf{εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του συστήματος}. Αυτή είναι η πιο μορφή ανάδραση,
+όπου δηλαδή η κατάσταση του συστήματος επηρεάζει την είσοδό του. Μαθηματικά:
 \[
 u = a(x)
 \]
@@ -1123,7 +1125,8 @@ \section{Δυναμικά συστήματα}
 	\] για \( a > 0 \).
 
 	Εδώ παρατηρούμε πως εισάγεται στη λύση ένας συντελεστής \( a \), ο οποίος όμως δεν υπάρχει
-	στην αρχική διαφορική εξίσωση, αλλά εμφανίζεται απλώς στη λύση του συστήματος.
+	στην αρχική διαφορική εξίσωση, αλλά εμφανίζεται απλώς στη λύση του συστήματος. Αυτό συμβαίνει
+	ακόμα και με την ύπαρξη της αρχικής συνθήκης \( x(0) = 0 \).
 
 	Δηλαδή το σύστημα αυτό έχει άπειρες λύσεις, που εξαρτώνται από την τιμή του \( a \).
 	Όμως δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων πώς θα αποκριθεί αυτό.
@@ -1132,8 +1135,8 @@ \section{Δυναμικά συστήματα}
 Παρατηρούμε ότι δηλαδή η ομαλότητα του δεξιού μέλους των διαφορικών εξισώσεων δεν εξασφαλίζει
 την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λήψεων.
 
-\begin{defn}{Συνέχεια κατά Lipschitz}{}
-	Εισάγουμε την έννοια της \textbf{τοπικής συνέχειας κατά Lipschitz}, που ικανοποιείται ότανν:
+\begin{theorem}{Συνέχεια κατά Lipschitz}{}
+	Εισάγουμε την έννοια της τοπικής \textbf{συνέχειας κατά Lipschitz}, που ικανοποιείται ότανν:
 	% Not a typo!
 	\[
 	\left|
@@ -1143,21 +1146,48 @@ \section{Δυναμικά συστήματα}
 	\]
 
 	Αυτή είναι μια ιδιαίτερα αυστηρή συνθήκη για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις.
-\end{defn}
+	\tcblower
+
+	Όταν η συνάρτηση \(  F \) είναι \textbf{συνεχής κατά Lipschitz}, τότε η λύση του συστήματος \textbf{υπάρχει} και
+	είναι \textbf{μοναδική}.
+\end{theorem}
 
-Πρακτικά πρέπει η συνάρτηση να βρίσκεται κάτω από μία ευθεία \( k|z| \), για κάποιο
+Πρακτικά, για να ικανοποιείται η συνθήκη, πρέπει η συνάρτηση να βρίσκεται κάτω από μία ευθεία \( k|z| \), για κάποιο
 πεπερασμένο \( k \):
-\todo{Graph 11}
+
+\begin{tikzpicture}
+\draw[->] (0,-0.5) -- (0,3);
+\draw[->] (-0.5,0) -- (3,0);
+
+\draw[red!50!orange!90!blue,very thick] (0,0) -- (45:4) node[midway,above left] {$k|z|$};
+\draw[blue!50!cyan,thick]
+plot [smooth,samples=8,variable=\x,domain=0:3] 
+(\x,{\x/2*(rand+2)/2}) (2,0) node[above] {$F(x)$};
+\end{tikzpicture}
 
 Διαφορετικά, για κάποιες συναρτήσεις, όπως η εκθετική, δεν υπάρχει ευθεία η οποία να βρίσκεται
 επάνω από τη συνάρτηση για οποιαδήποτε κλίση. Υπάρχουν μόνο τιμές του \( k \) που είναι
-πιο πάνω από τη συνάρτηση μέχρι συγκεκριμένα σημεία:
-\todo{Graph 12}
+πιο πάνω από τη συνάρτηση μέχρι \textit{συγκεκριμένα σημεία}:
+
+\begin{tikzpicture}
+\draw[->] (0,-0.5) -- (0,4.5);
+\draw[->] (-0.5,0) -- (4,0);
+
+\draw[red!50!orange!90!blue,very thick] (0,0) -- (45:5) node[midway,sloped,above left] {$k_2|z|$};
+\draw[red!30!orange!90!blue,very thick] (0,0) -- (25:5) node[pos=.85,sloped,above left] {$k_1|z|$};
+\draw[blue!50!cyan,thick]
+plot [smooth,samples=\vlowsamples,variable=\x,domain=0:3] 
+(\x,{0.06*(exp(1.4*\x)-1)}) node[above] {$F(x)$};
+
+\coordinate (m) at (2.01,0.91);
+\coordinate (n) at (2.74,2.70);
+
+\draw[dashed] (m) -- (m |- 0,0) (n) -- (n |- 0,0);
+\end{tikzpicture}
 
 \paragraph{}
 \textbf{Ικανή συνθήκη} (αλλά όχι και \textit{αναγκαία}) για να ικανοποιείται η συνέχεια
-κατά Lipschtz είναι η \textbf{ιακωβιανή} \( \od{F}{x} \) να είναι φραγμένη σε κάποιον χώρο \( \Omega \).
-\todo{really????}
+κατά Lipschtz είναι η \textbf{ιακωβιανή ορίζουσα} \( \od{F}{x} \) να είναι φραγμένη σε κάποιον χώρο \( \Omega \).
 
 \subsubsection{Σημείο ισορροπίας}
 \begin{defn}{Σημείο Ισορροπίας}{}
@@ -1178,8 +1208,26 @@ \subsubsection{Σημείο ισορροπίας}
 τότε το σύστημα δεν πρόκειται να μεταβληθεί. Δηλαδή \textit{ισορροπεί} στο \( x^* \).
 
 \begin{exercise}[Παράδειγμα]
-	\todo{Graph 13, wrap right}
-	Ένα απλοποιημένο μοντέλο του αναστρεφόμενου εκκρεμούς, για μικρή γωνία \( \theta \) είναι:
+	\begin{wrapfigure}{r}{0.2\textwidth}
+		\begin{center}
+		\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
+		\draw (-1,0) -- (1,0);
+		\draw (0,0) node[circle,inner sep=2pt,fill] {};
+		\draw[very thick] (0,0) -- ++(90:1.5) node[circle,inner sep=2pt,fill=white,draw] {} node[pos=.5] (a) {};
+		\draw[very thick] (0,0) -- ++(70:1.5) node[circle,inner sep=2pt,fill=white,draw] {} node[pos=.5] (b) {};
+
+		\draw[brown,->] (a.center) to[bend left] node[midway,above,xshift=1pt] {$\theta$} (b.center);
+
+		\begin{scope}[opacity=.5,dashed]
+		\draw[thick] (0,0) -- ++(-90:1.5cm-2/2pt) node[circle,inner sep=2pt,fill=white,draw,anchor=north] {} node[pos=.2] (c) {};
+		\draw[brown,->] (0,0.3) arc [start angle=90,end angle=-90,radius=0.3];
+		\end{scope}
+		\end{tikzpicture}
+		\end{center}
+	\end{wrapfigure}
+
+
+	Ένα απλοποιημένο μοντέλο του αναστρεφόμενου εκκρεμούς, για μικρή γωνία \( \theta \), είναι:
 	\[
 	\left[
 	\begin{matrix}