Edit o59_may03_signal

md/o59_may03_signal.md

@@ -1,13 +1,69 @@
-ในข้อนี้เราเขียนระยะห่างระหว่าง access point $i$ และ access point $j$ ด้วย $d(i, j)$ ซึ่งเราจะนิยามให้ $d(i, j) = (x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2$
+เราจะเขียนระยะห่างกำลังสองระหว่าง access point $i$ และ access point $j$ ด้วย $d(i, j)$ ซึ่งโดยนิยาม $d(i, j) = (x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2$
 
-สมมติก่อนว่าเรารู้ค่า $P$ แล้ว ค่า $a[i][j]$ ซึ่งบอกว่า access point $i$ คุยกับ access point $j$ ได้ไหม ควรจะมีค่าเป็น $1$ ก็ต่อเมื่อ $d(i, j) \leq P^2$ เท่านั้น มิเช่นนั้นควรจะมีค่าเป็น $0$
+สมมติก่อนว่าเรารู้ค่า $P$ แล้ว กำหนดให้ $b[i][j]$ บอกว่า access point $i$ คุยกับ access point $j$ ได้ไหม เรารู้ว่า $b[i][j]$ ควรจะมีค่าเป็น $1$ ก็ต่อเมื่อ $d(i, j) \leq P^2$ มิเช่นนั้นควรจะมีค่าเป็น $0$
 
-หากเรานำค่า $a[i][j]$ **จริง**ทั้งหมดมาเรียงกันจากน้อยไปมากตามค่า $d(i, j)$ ที่เกี่ยวข้องกับมัน จะได้ลำดับใหม่คือ $S_1, S_2, S_3, ..., S_m$ ($m =$ จำนวนข้อมูล) เราจะได้ว่า จะมี index $k$ โดย $0 \leq k \leq m$ ที่ $S_i = 1$ สำหรับ $1 \leq i \leq k$ และ $S_i = 0$ สำหรับ $k< i \leq m$ กล่าวคือลำดับจะเป็นเลข $1$ ตลอดไปจนถึงจุด ๆ หนึ่ง แล้วเปลี่ยนเป็น $0$ ตลอดจนจบลำดับ (หรืออาจจะไม่มี $1$ เลยก็ได้)
+หากเรานำเส้นเชื่อมทั้งหมดระหว่าง access point สองตัวใด ๆ มาเรียงกันจากน้อยไปมากตามค่า $d(i, j)$ จะได้ลำดับของเส้นเชื่อมคือ $E_1, E_2, E_3, ..., E_m$ (โดย $m = n^2$ ซึ่งคือจำนวนเส้นเชื่อม) ให้ $b[E_k]$ แทน $b[i][j]$ สำหรับ $i, j$ ที่สัมพันธ์กับเส้นเชื่อม $E_k$ เราจะทราบว่าลำดับ $b[E_1], \dots, b[E_m]$ จะเป็น  $1$ ตลอดไปจนถึงจุด ๆ หนึ่ง แล้วเปลี่ยนเป็น $0$ ตลอดจนจบลำดับ (หรืออาจจะไม่มี $0$ เลยก็ได้) หรือสามารถเขียนเป็นคณิตศาสตร์ได้ว่า จะมี index $k$ ที่ทำให้ $b[E_i] = 1$ สำหรับทุก $1 \leq i \leq k$ และ $b[E_i] = 0$ สำหรับทุก $k < i \leq m$ 
 
-ดังนั้นเพื่อที่จะหาคำตอบที่ดีที่สุด เราจะสร้างลำดับ $T$ โดยวิธีคล้ายกับการสร้างลำดับ $S$ ข้างต้น แต่เราจะใช้ค่า $a[i][j]$ **ที่โจทย์ให้มา**แทน จากนั้นเราจะไล่เทียบกับ $S$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยการเปลี่ยนค่า $k$ ไปเรื่อย ๆ จาก $k=0$ ถึง $k=m$ (ซึ่ง $k$ คือจุดสุดท้ายที่ลำดับ $S$ มีค่าเป็น $1$) แล้วในแต่ละครั้งของการไล่ เราจะคำนวณหาจำนวนสมาชิกของ $T$ ที่ไม่เหมือน $S$ คำตอบของเราจะมีค่าเท่ากับค่าที่น้อยที่สุดของจำนวนที่สมาชิกที่ต่างกันในแต่ละครั้งของการไล่
+ดังนั้นเพื่อที่จะหาคำตอบที่ดีที่สุด เราจะสร้างลำดับโดยวิธีคล้ายกับการสร้างลำดับ $b[E_i]$ ข้างต้น แต่เราจะใช้ค่า $a[i][j]$ ที่โจทย์ให้มาแทน นั่นคือจะได้ลำดับ $a[E_i]$ 
 
-แต่ข้อนี้มีข้อควรระวังคือ เราจะไม่สามารถใช้ $k$ บางค่าได้ เนื่องจากอาจจะมีกรณีที่ระยะทางมีค่าเท่ากัน ยกตัวอย่างเช่น ลำดับ $T$ ของเราอาจจะมีค่า $d(i, j)$ ที่สอดคล้องเท่ากับ $10, 25, 30, 30, 30, 45, 60$ สังเกตว่าถ้าเราให้ $k = 3$ จะได้ว่า $30 \leq P^2$ และ $30 > P^2$ ในเวลาเดียวกัน ซึ่งไม่สามารถเป็นไปได้ ดังนั้นเวลาไล่ค่า $k$ ให้เราข้าม index พวกนี้ไปเลย
+จากนั้นเราจะหาว่าลำดับ $a[E_i]$ ที่เราได้มา ใกล้เคียงกับการเป็นลำดับ $b[E_i]$ มากแค่ไหน พูดอีกอย่างคือการหาว่าเราต้องสลับ $1$ กับ $0$ อย่างน้อยกี่ตัวที่จะทำให้ลำดับ $a[E_i]$ เป็นลำดับที่เริ่มจาก $1$ ตลอดไปจนถึงจุด ๆ หนึ่ง แล้วเปลี่ยนเป็น $0$ ตลอดจนจบลำดับ (หรืออาจจะไม่มี $0$ เลยก็ได้)
 
-ในการคำนวณหาจำนวนสมาชิกที่ต่าง ให้เราเก็บจำนวนของ $0$ จนถึงตำแหน่ง $k$ เพื่อใช้ในการคำนวณคำตอบ จากนี้ เราสามารถคำนวณจำนวนของ $1$ หลังตำแหน่ง $k$ ได้ด้วย ดังนั้นเราก็จะสามารถคำนวณคำตอบในแต่ละครั้งของการเปลี่ยนค่า $k$ ได้เร็ว ๆ  
+เราทำได้โดยการไล่เทียบกับ $b[E_i]$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยการเปลี่ยนค่า $k$ ไปเรื่อย ๆ จาก $k=0$ ถึง $k=m$ (ซึ่ง $k$ คือจุดสุดท้ายที่ลำดับ $b[E_i]$ มีค่าเป็น $1$ ทุกตัว) แล้วในแต่ละครั้งของการไล่ เราจะคำนวณหาจำนวนสมาชิกของ $a[E_i]$ ที่ไม่เหมือน $b[E_i]$ คำตอบของเราจะมีค่าเท่ากับค่าที่น้อยที่สุดของจำนวนที่สมาชิกที่ต่างกันในแต่ละครั้งของการไล่
 
-time complexity ของวิธีนี้จะเท่ากับ $\mathcal{O}(n^2 \log n)$ จากการ sort ลำดับ $T$ ซึ่งมีความยาวเท่ากับ $m = n^2$
+แต่ข้อนี้มีข้อควรระวังคือ เราจะไม่สามารถใช้ $k$ บางค่าได้ เนื่องจากอาจจะมีกรณีที่ระยะทางมีค่าเท่ากัน ยกตัวอย่างเช่น ลำดับของเราอาจจะมีค่า $d(i, j)$ ที่สอดคล้องเท่ากับ $10, 25, 30, 30, 30, 45, 60$ สังเกตว่าถ้าเราให้ $k = 3$ จะได้ว่า $30 \leq P^2$ และ $30 > P^2$ ในเวลาเดียวกัน ซึ่งไม่สามารถเป็นไปได้ ดังนั้นเวลาไล่ค่า $k$ ให้เราข้าม index พวกนี้ไปเลย
+
+ในการคำนวณหาจำนวนสมาชิกที่ต่าง ให้เราเก็บจำนวนของ $1$ จนถึงตำแหน่ง $k$ เพื่อใช้ในการคำนวณคำตอบ เราสามารถคำนวณจำนวนของ $0$ หลังตำแหน่ง $k$ ได้ด้วย ดังนั้นเราก็จะสามารถคำนวณคำตอบในแต่ละครั้งของการเปลี่ยนค่า $k$ ได้เร็ว ๆ การเปรียบเทียบนี้ควรทำได้ใน $\mathcal{O}(n^2)$
+
+time complexity ของวิธีนี้จะเท่ากับ $\mathcal{O}(n^2 \log n)$ จากการ sort ลำดับซึ่งมีความยาวเท่ากับ $m = n^2$
+
+```cpp
+#include<bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+#define x first
+#define y second
+
+pair<int, int> p[200];
+
+struct Edge {
+  int i, j, d, a;
+  bool operator < (const Edge & o) const {
+    return d < o.d;
+  }
+};
+
+vector<Edge> v;
+vector<int> qs;
+
+int main(){
+  ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL);
+  int n; cin >> n;
+
+  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i].x >> p[i].y;
+
+  for (int i = 1; i <= n; i++) {
+    for (int j = 1; j <= n; j++) {
+      int report; cin >> report;
+      int dis = (p[i].x-p[j].x)*(p[i].x-p[j].x) 
+        + (p[i].y-p[j].y)*(p[i].y-p[j].y);
+      v.push_back({i, j, dis, report});
+    }
+  }
+
+  sort(v.begin(), v.end());
+  int n2 = v.size();
+  qs.resize(n2);
+
+  qs[0] = v[0].a;
+  for (int i = 1; i < n2; i ++) qs[i] = qs[i-1] + v[i].a;
+
+  int mn = 1e9;
+  for (int i = 0; i < n2; i ++) {
+    if (v[i].d == v[i+1].d) continue;
+    int error = (i+1 - qs[i]) + (qs[n2-1] - qs[i]);
+    mn = min(mn, error);
+  }
+  cout << mn;
+
+  return 0;
+}
+```